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Theorem chpub 24945

Description: An upper bound on the second Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
chpub	$/\$ ψ

Proof of Theorem chpub Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpcl 24850	. . . . 5 ψ
2	1	adantr 481	. . . 4 $/\$ ψ
3		chtcl 24835	. . . . 5
4	3	adantr 481	. . . 4 $/\$
5	2, 4	resubcld 10458	. . 3 $/\$ ψ
6		simpl 473	. . . . . 6 $/\$
7		0red 10041	. . . . . . . . 9 $/\$
8		1red 10055	. . . . . . . . 9 $/\$
9		0lt1 10550	. . . . . . . . . 10
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
11		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$
12	7, 8, 6, 10, 11	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 $/\$
13	6, 12	elrpd 11869	. . . . . . 7 $/\$
14	13	rpge0d 11876	. . . . . 6 $/\$
15	6, 14	resqrtcld 14156	. . . . 5 $/\$
16		ppifi 24832	. . . . 5
17	15, 16	syl 17	. . . 4 $/\$
18	13	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$
19	18	relogcld 24369	. . . 4 $/\$ $/\$
20	17, 19	fsumrecl 14465	. . 3 $/\$
21	13	relogcld 24369	. . . 4 $/\$
22	15, 21	remulcld 10070	. . 3 $/\$
23		ppifi 24832	. . . . . . 7
24	23	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
25		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
27	25, 26	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
28		prmnn 15388	. . . . . . . . . . 11
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
30	29	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
31	30	relogcld 24369	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
33	29	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
34		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . 13
35	27, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
36		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12
38	35, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
39	33, 38	rplogcld 24375	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
40	32, 39	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
41		reflcl 12597	. . . . . . . . 9
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
43	31, 42	remulcld 10070	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
44	43	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$ $/\$
45	31	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$ $/\$
46	24, 44, 45	fsumsub 14520	. . . . 5 $/\$
47		0le0 11110	. . . . . . . . 9
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
49	8, 6, 6, 14, 11	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	6	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
51	50	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	50	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 $/\$
53	51, 52	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	50	sqvald 13005	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	49, 53, 54	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 $/\$
56	6, 14	sqrtge0d 14159	. . . . . . . . . 10 $/\$
57	15, 6, 56, 14	le2sqd 13044	. . . . . . . . 9 $/\$
58	55, 57	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$
59		iccss 12241	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
60	7, 6, 48, 58, 59	syl22anc 1327	. . . . . . 7 $/\$
61		ssrin 3838	. . . . . . 7
62	60, 61	syl 17	. . . . . 6 $/\$
63	62	sselda 3603	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
64	43, 31	resubcld 10458	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
65	64	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
66	63, 65	syldan 487	. . . . . 6 $/\$ $/\$
67		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
68	67, 45	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
69	68	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
70		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71	70, 26	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
72		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
74		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
75	72, 73, 74	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	71, 75	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	76	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
78	67, 77	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
79	67, 30	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
80	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
81	79, 80	logled 24373	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
82	78, 81	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
83	69, 82	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
84		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
85	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
86	67, 39	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
87	84, 85, 86	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
88	83, 87	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$
89	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$
90	89	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
91	90	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
92		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$
94	67, 27	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
95		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
96	95	rbaib 947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97	94, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
98		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
99	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
100	67, 29	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$
101	100	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
102	79	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
103		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
104		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	103, 104	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
106	105	baibd 948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
107	98, 99, 101, 102, 106	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
108	97, 107	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$
109	93, 108	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$
110	99, 101	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$
111	109, 110	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
112	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$
113	99, 101, 112, 102	lt2sqd 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
114	111, 113	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
115	91, 114	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
116	100	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
117	116	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
118		logltb 24346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	80, 117, 118	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$
120	115, 119	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
121		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15
122		relogexp 24342	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
123	79, 121, 122	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
124	120, 123	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
125		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$
127	85, 126, 86	ltdivmul2d 11924	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
128	124, 127	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
129		df-2 11079	. . . . . . . . . . . 12
130	128, 129	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$
131	67, 40	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
132		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12
133		flbi 12617	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
134	131, 132, 133	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
135	88, 130, 134	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$
136	135	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$
137	68	mulid1d 10057	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$
138	136, 137	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$
139	138	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$
140	68	subidd 10380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$
141	139, 140	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$
142	62, 66, 141, 24	fsumss 14456	. . . . 5 $/\$
143		chpval2 24943	. . . . . . 7 ψ
144	143	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ ψ
145		chtval 24836	. . . . . . 7
146	145	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
147	144, 146	oveq12d 6668	. . . . 5 $/\$ ψ
148	46, 142, 147	3eqtr4rd 2667	. . . 4 $/\$ ψ
149	63, 64	syldan 487	. . . . 5 $/\$ $/\$
150	63, 43	syldan 487	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	63, 39	syldan 487	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
152	151	rpge0d 11876	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
153		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12
154		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
155	153, 154	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
156	155, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
157	156	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
158	157	relogcld 24369	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
159	150, 158	subge02d 10619	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
160	152, 159	mpbid 222	. . . . . 6 $/\$ $/\$
161	63, 40	syldan 487	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
162		flle 12600	. . . . . . . 8
163	161, 162	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
164	63, 42	syldan 487	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
165	164, 19, 151	lemuldiv2d 11922	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
166	163, 165	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$ $/\$
167	149, 150, 19, 160, 166	letrd 10194	. . . . 5 $/\$ $/\$
168	17, 149, 19, 167	fsumle 14531	. . . 4 $/\$
169	148, 168	eqbrtrd 4675	. . 3 $/\$ ψ
170	21	recnd 10068	. . . . 5 $/\$
171		fsumconst 14522	. . . . 5 $/\$
172	17, 170, 171	syl2anc 693	. . . 4 $/\$
173		hashcl 13147	. . . . . . 7
174	17, 173	syl 17	. . . . . 6 $/\$
175	174	nn0red 11352	. . . . 5 $/\$
176		logge0 24351	. . . . 5 $/\$
177		reflcl 12597	. . . . . . 7
178	15, 177	syl 17	. . . . . 6 $/\$
179		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 $/\$
180		ppisval 24830	. . . . . . . . . . 11
181	15, 180	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
182		inss1 3833	. . . . . . . . . . 11
183		2eluzge1 11734	. . . . . . . . . . . 12
184		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . 12
185	183, 184	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$
186	182, 185	syl5ss 3614	. . . . . . . . . 10 $/\$
187	181, 186	eqsstrd 3639	. . . . . . . . 9 $/\$
188		ssdomg 8001	. . . . . . . . 9
189	179, 187, 188	sylc 65	. . . . . . . 8 $/\$
190		hashdom 13168	. . . . . . . . 9 $/\$
191	17, 179, 190	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$
192	189, 191	mpbird 247	. . . . . . 7 $/\$
193		flge0nn0 12621	. . . . . . . . 9 $/\$
194	15, 56, 193	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$
195		hashfz1 13134	. . . . . . . 8
196	194, 195	syl 17	. . . . . . 7 $/\$
197	192, 196	breqtrd 4679	. . . . . 6 $/\$
198		flle 12600	. . . . . . 7
199	15, 198	syl 17	. . . . . 6 $/\$
200	175, 178, 15, 197, 199	letrd 10194	. . . . 5 $/\$
201	175, 15, 21, 176, 200	lemul1ad 10963	. . . 4 $/\$
202	172, 201	eqbrtrd 4675	. . 3 $/\$
203	5, 20, 22, 169, 202	letrd 10194	. 2 $/\$ ψ
204	2, 4, 22	lesubadd2d 10626	. 2 $/\$ ψ ψ
205	203, 204	mpbid 222	1 $/\$ ψ

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990 $\$ cdif 3571

cin 3573

wss 3574 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cdom 7953

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cicc 12178

cfz 12326

cfl 12591

cexp 12860

chash 13117

csqrt 13973

csu 14416

cprime 15385

clog 24301

ccht 24817 ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cht 24823 df-vma 24824 df-chp 24825

This theorem is referenced by: chpchtlim 25168

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