esumfsup - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem esumfsup 30132

Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
esumfsup.1

**Assertion**
Ref	Expression
esumfsup	Σ^*

Proof of Theorem esumfsup Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11407	. . . . . 6
2		seqfn 12813	. . . . . 6
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5
4		nnuz 11723	. . . . . 6
5	4	fneq2i 5986	. . . . 5
6	3, 5	mpbir 221	. . . 4
7		iccssxr 12256	. . . . . 6
8		esumfsup.1	. . . . . . . 8
9	8	esumfzf 30131	. . . . . . 7 $/\$ Σ^*
10		ovex 6678	. . . . . . . 8
11		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11
12		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11
13	8, 11, 12	nff 6041	. . . . . . . . . 10
14		nfv 1843	. . . . . . . . . 10
15	13, 14	nfan 1828	. . . . . . . . 9 $/\$
16		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
17		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . 13
18		fzssnn 12385	. . . . . . . . . . . . 13
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
20		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
21	19, 20	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
22	16, 21	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
23	22	ex 450	. . . . . . . . 9 $/\$
24	15, 23	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 $/\$
25		nfcv 2764	. . . . . . . . 9
26	25	esumcl 30092	. . . . . . . 8 $/\$ Σ^*
27	10, 24, 26	sylancr 695	. . . . . . 7 $/\$ Σ^*
28	9, 27	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 $/\$
29	7, 28	sseldi 3601	. . . . 5 $/\$
30	29	ralrimiva 2966	. . . 4
31		fnfvrnss 6390	. . . 4 $/\$
32	6, 30, 31	sylancr 695	. . 3
33		nnex 11026	. . . . 5
34		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 $/\$
35	34	ex 450	. . . . . 6
36	13, 35	ralrimi 2957	. . . . 5
37	11	esumcl 30092	. . . . 5 $/\$ Σ^*
38	33, 36, 37	sylancr 695	. . . 4 Σ^*
39	7, 38	sseldi 3601	. . 3 Σ^*
40		fvelrnb 6243	. . . . . . . . 9
41	6, 40	mp1i 13	. . . . . . . 8
42		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 Σ^* Σ^*
43	9	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 $/\$ Σ^*
44	42, 43	syl5bbr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ Σ^*
45	44	rexbidva 3049	. . . . . . . 8 Σ^*
46	41, 45	bitr4d 271	. . . . . . 7 Σ^*
47	46	biimpa 501	. . . . . 6 $/\$ Σ^*
48	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
49	34	adantlr 751	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . . 9 $/\$
51	15, 48, 49, 50	esummono 30116	. . . . . . . 8 $/\$ Σ^* Σ^*
52	51	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 Σ^* Σ^*
53	52	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ Σ^* Σ^*
54	47, 53	jca 554	. . . . 5 $/\$ Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
55		r19.29r 3073	. . . . 5 Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
56		breq1 4656	. . . . . . 7 Σ^* Σ^* Σ^* Σ^*
57	56	biimpar 502	. . . . . 6 Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* Σ^*
58	57	rexlimivw 3029	. . . . 5 Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* Σ^*
59	54, 55, 58	3syl 18	. . . 4 $/\$ Σ^*
60	59	ralrimiva 2966	. . 3 Σ^*
61		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11
62	13, 61	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 $/\$
63		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11
64		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11
65	11	nfesum1 30102	. . . . . . . . . . 11 Σ^*
66	63, 64, 65	nfbr 4699	. . . . . . . . . 10 Σ^*
67	62, 66	nfan 1828	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Σ^*
68	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Σ^*
69		simplll 798	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$
70	69, 34	sylancom 701	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$
71		simplr 792	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Σ^*
72	71	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Σ^*
73		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Σ^* Σ^*
74	67, 68, 70, 72, 73	esumlub 30122	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Σ^* Σ^*
75		ssnnssfz 29549	. . . . . . . . . 10
76		r19.42v 3092	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ $/\$ Σ^* $/\$
77		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14
78	67, 77	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$
79	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$
80		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$
81	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
82		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$
83	81, 82	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$
84	80, 83	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$
85		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$
86	78, 79, 84, 85	esummono 30116	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
87	86	reximi 3011	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
88	76, 87	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
89	75, 88	sylan2 491	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
90	89	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Σ^* Σ^* Σ^*
91		r19.29r 3073	. . . . . . . . 9 Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
92		r19.42v 3092	. . . . . . . . . 10 Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
93	92	rexbii 3041	. . . . . . . . 9 Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
94	91, 93	sylibr 224	. . . . . . . 8 Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
95	74, 90, 94	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Σ^* Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
96		simp-4r 807	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$
97	96	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$
98		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12
99		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16
100	99	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15
101	67, 100	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$
102	101, 14	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$
103		simp-5l 808	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ $/\$
104		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ $/\$
105		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106	105	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
107		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
108	104, 106, 107	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ $/\$
109		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ $/\$
110	108, 109	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ $/\$
111	103, 110	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$
113	102, 112	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$
114	99	esumcl 30092	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Σ^*
115	98, 113, 114	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ Σ^*
116	7, 115	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ Σ^*
117		simp-5l 808	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ $/\$
118		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ $/\$
119	81, 118	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ $/\$
120	117, 119	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ $/\$
121	120	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$
122	102, 121	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$
123	10, 122, 26	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ Σ^*
124	7, 123	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ Σ^*
125		xrltletr 11988	. . . . . . . . . 10 $/\$ Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* Σ^*
126	97, 116, 124, 125	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* Σ^*
127	126	reximdva 3017	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* Σ^*
128	127	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Σ^* Σ^* $/\$ Σ^* Σ^* Σ^*
129	95, 128	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Σ^* Σ^*
130		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . 10
131	6, 130	mp1i 13	. . . . . . . . 9
132		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 Σ^* Σ^*
133	9	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Σ^*
134	132, 133	syl5bbr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ Σ^*
135	134	rexbidva 3049	. . . . . . . . 9 Σ^*
136	131, 135	bitr4d 271	. . . . . . . 8 Σ^*
137		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ Σ^* Σ^*
138	137	breq2d 4665	. . . . . . . 8 $/\$ Σ^* Σ^*
139	27, 136, 138	rexxfr2d 4883	. . . . . . 7 Σ^*
140	139	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Σ^* Σ^*
141	129, 140	mpbird 247	. . . . 5 $/\$ $/\$ Σ^*
142	141	ex 450	. . . 4 $/\$ Σ^*
143	142	ralrimiva 2966	. . 3 Σ^*
144		supxr2 12144	. . 3 $/\$ Σ^* $/\$ Σ^* $/\$ Σ^* Σ^*
145	32, 39, 60, 143, 144	syl22anc 1327	. 2 Σ^*
146	145	eqcomd 2628	1 Σ^*

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wnfc 2751

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

cpw 4158 class class class wbr 4653

crn 5115

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

csup 8346

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cn 11020

cz 11377

cuz 11687

cxad 11944

cicc 12178

cfz 12326

cseq 12801 Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-ordt 16161 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-ps 17200 df-tsr 17201 df-plusf 17241 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mhm 17335 df-submnd 17336 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-subrg 18778 df-abv 18817 df-lmod 18865 df-scaf 18866 df-sra 19172 df-rgmod 19173 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-tmd 21876 df-tgp 21877 df-tsms 21930 df-trg 21963 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-nm 22387 df-ngp 22388 df-nrg 22390 df-nlm 22391 df-ii 22680 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-esum 30090

This theorem is referenced by: esumfsupre 30133 esumsup 30151

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