Theorem lgamgulm2 24762

Description: Rewrite the limit of the sequence G in terms of the log-Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	|- ( ph -> R e. NN )
lgamgulm.u	|- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
lgamgulm.g	|- G = ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lgamgulm2	|- ( ph -> ( A. z e. U ( log _G ` z ) e. CC /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, m, x, z, R   U, m, z   ph, m, x, z

Allowed substitution hints:   ph( k)   U( x, k)   G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulm2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamgulm.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. NN )
2		lgamgulm.u	. . . . . . 7 |- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
3	1, 2	lgamgulmlem1 24755	. . . . . 6 |- ( ph -> U C_ ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
4	3	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> z e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
5		ovex 6678	. . . . 5 |- ( sum_ n e. NN ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) - ( log ` z ) ) e. _V
6		df-lgam 24745	. . . . . 6 |- log _G = ( z e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) |-> ( sum_ n e. NN ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) - ( log ` z ) ) )
7	6	fvmpt2 6291	. . . . 5 |- ( ( z e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) /\ ( sum_ n e. NN ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) - ( log ` z ) ) e. _V ) -> ( log _G ` z ) = ( sum_ n e. NN ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) - ( log ` z ) ) )
8	4, 5, 7	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( log _G ` z ) = ( sum_ n e. NN ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) - ( log ` z ) ) )
9		nnuz 11723	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10		1zzd 11408	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> 1 e. ZZ )
11		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( m + 1 ) = ( n + 1 ) )
12		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> m = n )
13	11, 12	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( ( m + 1 ) / m ) = ( ( n + 1 ) / n ) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) = ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) = ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) )
16		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( z / m ) = ( z / n ) )
17	16	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( z / m ) + 1 ) = ( ( z / n ) + 1 ) )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) = ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) )
19	15, 18	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) = ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) )
21		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) e. _V
22	19, 20, 21	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ` n ) = ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ` n ) = ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) )
24	4	eldifad 3586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> z e. CC )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> z e. CC )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
27	26	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. NN )
28	27	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. RR+ )
29	26	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> n e. RR+ )
30	28, 29	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( ( n + 1 ) / n ) e. RR+ )
31	30	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) e. RR )
32	31	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) e. CC )
33	25, 32	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) e. CC )
34	26	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> n e. CC )
35	26	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> n =/= 0 )
36	25, 34, 35	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( z / n ) e. CC )
37		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> 1 e. CC )
38	36, 37	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( ( z / n ) + 1 ) e. CC )
39	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> z e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
40	39, 26	dmgmdivn0 24754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( ( z / n ) + 1 ) =/= 0 )
41	38, 40	logcld 24317	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) e. CC )
42	33, 41	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) e. CC )
43		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
44		seqfn 12813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( oF + , G ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- seq 1 ( oF + , G ) Fn ( ZZ>= ` 1 )
46	9	fneq2i 5986	. . . . . . . . . . 11 |- ( seq 1 ( oF + , G ) Fn NN <-> seq 1 ( oF + , G ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
47	45, 46	mpbir 221	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( oF + , G ) Fn NN
48		lgamgulm.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) )
49	1, 2, 48	lgamgulm 24761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 1 ( oF + , G ) e. dom ( ~~> u ` U ) )
50		ulmdm 24147	. . . . . . . . . . 11 |- ( seq 1 ( oF + , G ) e. dom ( ~~> u ` U ) <-> seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) )
51	49, 50	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) )
52		ulmf2 24138	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( oF + , G ) Fn NN /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) ) -> seq 1 ( oF + , G ) : NN --> ( CC ^m U ) )
53	47, 51, 52	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 1 ( oF + , G ) : NN --> ( CC ^m U ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> seq 1 ( oF + , G ) : NN --> ( CC ^m U ) )
55		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> z e. U )
56		seqex 12803	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) e. _V
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) e. _V )
58	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> G = ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) )
59	58	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> seq 1 ( oF + , G ) = seq 1 ( oF + , ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ) )
60	59	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( oF + , G ) ` n ) = ( seq 1 ( oF + , ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ) ` n ) )
61		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC e. _V
62	2, 61	rabex2 4815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U e. _V
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U e. _V )
64		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
65	64, 9	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
66		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... n ) C_ NN
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 ... n ) C_ NN )
68		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( m e. NN /\ z e. U ) ) -> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) e. _V )
69	63, 65, 67, 68	seqof2 12859	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( oF + , ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ) ` n ) = ( z e. U |-> ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) ) )
70	69	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( oF + , ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ) ` n ) = ( z e. U |-> ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) ) )
71	60, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( oF + , G ) ` n ) = ( z e. U |-> ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) ) )
72	71	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( ( seq 1 ( oF + , G ) ` n ) ` z ) = ( ( z e. U |-> ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) ) ` z ) )
73	55	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> z e. U )
74		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) e. _V
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. U |-> ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) ) = ( z e. U |-> ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) )
76	75	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. U /\ ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) e. _V ) -> ( ( z e. U |-> ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) ) ` z ) = ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) )
77	73, 74, 76	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( ( z e. U |-> ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) ) ` z ) = ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) )
78	72, 77	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ n e. NN ) -> ( ( seq 1 ( oF + , G ) ` n ) ` z ) = ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ` n ) )
79	51	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) )
80	9, 10, 54, 55, 57, 78, 79	ulmclm 24141	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) ) ~~> ( ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) ` z ) )
81	9, 10, 23, 42, 80	isumclim 14488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> sum_ n e. NN ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) ` z ) )
82		ulmcl 24135	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) -> ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) : U --> CC )
83	51, 82	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) : U --> CC )
84	83	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) ` z ) e. CC )
85	81, 84	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> sum_ n e. NN ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) e. CC )
86	4	dmgmn0 24752	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> z =/= 0 )
87	24, 86	logcld 24317	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( log ` z ) e. CC )
88	85, 87	subcld 10392	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( sum_ n e. NN ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) - ( log ` z ) ) e. CC )
89	8, 88	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( log _G ` z ) e. CC )
90	89	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. z e. U ( log _G ` z ) e. CC )
91		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) : U --> CC -> ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) Fn U )
92	51, 82, 91	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) Fn U )
93		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ z ( ~~> u ` U )
94		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ z 1
95		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ z oF +
96		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z NN
97		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) )
98	96, 97	nfmpt 4746	. . . . . . . . 9 |- F/_ z ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) )
99	48, 98	nfcxfr 2762	. . . . . . . 8 |- F/_ z G
100	94, 95, 99	nfseq 12811	. . . . . . 7 |- F/_ z seq 1 ( oF + , G )
101	93, 100	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ z ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) )
102	101	dffn5f 6252	. . . . 5 |- ( ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) Fn U <-> ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) = ( z e. U |-> ( ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) ` z ) ) )
103	92, 102	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) = ( z e. U |-> ( ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) ` z ) ) )
104	8	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) = ( ( sum_ n e. NN ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) - ( log ` z ) ) + ( log ` z ) ) )
105	85, 87	npcand 10396	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( ( sum_ n e. NN ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) - ( log ` z ) ) + ( log ` z ) ) = sum_ n e. NN ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) )
106	104, 105, 81	3eqtrrd 2661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) ` z ) = ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) )
107	106	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U |-> ( ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) ` z ) ) = ( z e. U |-> ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) )
108	103, 107	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( ~~> u ` U ) ` seq 1 ( oF + , G ) ) = ( z e. U |-> ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) )
109	51, 108	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) )
110	90, 109	jca 554	1 |- ( ph -> ( A. z e. U ( log _G ` z ) e. CC /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   abscabs 13974   sum_csu 14416   ~~> uculm 24130   logclog 24301   log _Gclgam 24742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-cxp 24304  df-lgam 24745

This theorem is referenced by:  lgambdd  24763  lgamcvglem  24766