Theorem tgoldbachgtda 30739

Description: Lemma for tgoldbachgtd 30740. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtda.o	|- O = { z e. ZZ | -. 2 || z }
tgoldbachgtda.n	|- ( ph -> N e. O )
tgoldbachgtda.0	|- ( ph -> (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N )
tgoldbachgtda.h	|- ( ph -> H : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
tgoldbachgtda.k	|- ( ph -> K : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
tgoldbachgtda.1	|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( K ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) )
tgoldbachgtda.2	|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) )
tgoldbachgtda.3	|- ( ph -> ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( N ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. H )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. K )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgtda	|- ( ph -> 0 < ( # ` ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) )

Distinct variable groups:   m, H, x   m, K, x   m, N, x, z   m, O, z   ph, m, x

Allowed substitution hints:   ph( z)   H( z)   K( z)   O( x)

Proof of Theorem tgoldbachgtda

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtda.o	. . . . . 6 |- O = { z e. ZZ | -. 2 || z }
2		tgoldbachgtda.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. O )
3		tgoldbachgtda.0	. . . . . 6 |- ( ph -> (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N )
4	1, 2, 3	tgoldbachgnn 30737	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
5	4	nnnn0d 11351	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		3nn0 11310	. . . . 5 |- 3 e. NN0
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 3 e. NN0 )
8		inss2 3834	. . . . . 6 |- ( O i^i Prime ) C_ Prime
9		prmssnn 15390	. . . . . 6 |- Prime C_ NN
10	8, 9	sstri 3612	. . . . 5 |- ( O i^i Prime ) C_ NN
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( O i^i Prime ) C_ NN )
12	5, 7, 11	reprfi2 30701	. . 3 |- ( ph -> ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) e. Fin )
13		tgoldbachgtda.h	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
14		tgoldbachgtda.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
15		tgoldbachgtda.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( K ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) )
16		tgoldbachgtda.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) )
17		tgoldbachgtda.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( N ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. H )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. K )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )
18	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17	tgoldbachgtde 30738	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < sum_ n e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) )
19	18	gt0ne0d 10592	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) =/= 0 )
20	19	neneqd 2799	. . . . 5 |- ( ph -> -. sum_ n e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) = 0 )
21		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) = (/) ) -> ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) = (/) )
22	21	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) = (/) ) -> sum_ n e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) = sum_ n e. (/) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) )
23		sum0 14452	. . . . . 6 |- sum_ n e. (/) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) = 0
24	22, 23	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) = (/) ) -> sum_ n e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) = 0 )
25	20, 24	mtand 691	. . . 4 |- ( ph -> -. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) = (/) )
26	25	neqned 2801	. . 3 |- ( ph -> ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) =/= (/) )
27		hashnncl 13157	. . . 4 |- ( ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) e. Fin -> ( ( # ` ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) e. NN <-> ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) =/= (/) ) )
28	27	biimpar 502	. . 3 |- ( ( ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) e. Fin /\ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) =/= (/) ) -> ( # ` ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) e. NN )
29	12, 26, 28	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( # ` ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) e. NN )
30		nngt0 11049	. 2 |- ( ( # ` ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) e. NN -> 0 < ( # ` ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) )
31	29, 30	syl 17	1 |- ( ph -> 0 < ( # ` ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   7c7 11075   8c8 11076   9c9 11077   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ^cexp 12860   #chash 13117   sum_csu 14416   expce 14792   picpi 14797   || cdvds 14983   Primecprime 15385   S.citg 23387  Λcvma 24818  _cdp2 29577   periodcdp 29595  reprcrepr 30686  vtscvts 30713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-ros335 30723  ax-ros336 30724

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-pmtr 17862  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-cxp 24304  df-atan 24594  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-dp2 29578  df-dp 29596  df-repr 30687  df-vts 30714

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtd  30740