Theorem stirlinglem6 40296

Description: A series that converges to log (N+1)/N. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
stirlinglem6.1	|- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem6	|- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )

Distinct variable group:   j, N

Allowed substitution hint:   H( j)

Proof of Theorem stirlinglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) + ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) + ( ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ j ) / j ) ) )
4		stirlinglem6.1	. . 3 |- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
5		eqid 2622	. . 3 |- ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
6		2re 11090	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
8		nnre 11027	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9	7, 8	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
10		0le2 11111	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ 2 )
12		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
13		nngt0 11049	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
14	12, 8, 13	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
15	7, 8, 11, 14	mulge0d 10604	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
16	9, 15	ge0p1rpd 11902	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
17	16	rpreccld 11882	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR+ )
18		1red 10055	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
19	18	renegcld 10457	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -u 1 e. RR )
20	17	rpred 11872	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
21		neg1lt0 11127	. . . . . 6 |- -u 1 < 0
22	21	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -u 1 < 0 )
23	17	rpgt0d 11875	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
24	19, 12, 20, 22, 23	lttrd 10198	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u 1 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
25		1rp 11836	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
26	25	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. RR+ )
27		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
28	27	div1d 10793	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / 1 ) = 1 )
29		2rp 11837	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
31		nnrp 11842	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
32	30, 31	rpmulcld 11888	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
33	18, 32	ltaddrp2d 11906	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
34	28, 33	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / 1 ) < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
35	26, 16, 34	ltrec1d 11892	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) < 1 )
36	20, 18	absltd 14168	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( abs ` ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) /\ ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) < 1 ) ) )
37	24, 35, 36	mpbir2and 957	. . 3 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) < 1 )
38	1, 2, 3, 4, 5, 17, 37	stirlinglem5 40295	. 2 |- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) ) )
39		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
40		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
41	39, 40	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. CC )
42	41, 27	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
43	9, 18	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
44		2pos 11112	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> 0 < 2 )
46	7, 8, 45, 13	mulgt0d 10192	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < ( 2 x. N ) )
47	9	ltp1d 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
48	12, 9, 43, 46, 47	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
49	48	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
50	42, 49	dividd 10799	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = 1 )
51	50	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
52	51	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
53	51	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
54	52, 53	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) )
55	42, 27, 42, 49	divdird 10839	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
56	55	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
57	42, 27, 42, 49	divsubdird 10840	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
58	57	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
59	56, 58	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
60	41, 27, 27	addassd 10062	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
61		1p1e2 11134	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + 1 ) = 2
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 1 + 1 ) = 2 )
63	62	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + 2 ) )
64	39	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
65	64	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 = ( 2 x. 1 ) )
66	65	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 2 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
67	39, 40, 27	adddid 10064	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
68	66, 67	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 2 ) = ( 2 x. ( N + 1 ) ) )
69	60, 63, 68	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( 2 x. ( N + 1 ) ) )
70	69	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
71	41, 27	pncand 10393	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. N ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
73	70, 72	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
74	59, 73	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) )
75	40, 27	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
76	39, 75	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) e. CC )
77	46	gt0ne0d 10592	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) =/= 0 )
78	76, 41, 42, 77, 49	divcan7d 10829	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) )
79	45	gt0ne0d 10592	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 2 =/= 0 )
80	13	gt0ne0d 10592	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
81	39, 39, 75, 40, 79, 80	divmuldivd 10842	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) )
82	81	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
83	39, 79	dividd 10799	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 / 2 ) = 1 )
84	83	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( 1 x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
85	75, 40, 80	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) e. CC )
86	85	mulid2d 10058	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
87	84, 86	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 2 / 2 ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
88	78, 82, 87	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. N ) / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
89	54, 74, 88	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
90	89	fveq2d 6195	. 2 |- ( N e. NN -> ( log ` ( ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ) ) ) = ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )
91	38, 90	breqtrd 4679	1 |- ( N e. NN -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303

This theorem is referenced by:  stirlinglem7  40297