stirlinglem7 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem7 40297

Description: Algebraic manipulation of the formula for J(n). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem7.1
stirlinglem7.2
stirlinglem7.3

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem7

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem stirlinglem7 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . 4
2		1zzd 11408	. . . 4
3		1e0p1 11552	. . . . . . . 8
4	3	a1i 11	. . . . . . 7
5	4	seqeq1d 12807	. . . . . 6
6		nn0uz 11722	. . . . . . 7
7		0nn0 11307	. . . . . . . 8
8	7	a1i 11	. . . . . . 7
9		stirlinglem7.3	. . . . . . . . . 10
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
11		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14
12	11	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
13	12	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
14	12	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
15	13, 14	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
17	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
18		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$
19		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 $/\$
20		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15
21		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	20, 21	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14
23		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14
24	22, 23	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15
27		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30	28, 29	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
35	28, 29, 33, 34	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	30, 31, 35, 37	addgegt0d 10601	. . . . . . . . . . . . . . 15
39	26, 38	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . . 14
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
41	40	necomd 2849	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
42	25, 41	reccld 10794	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
45	19, 44	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
46		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
47	45, 46	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
48	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
50	48, 49	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16
51		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16
52	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
53		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55	53, 49, 54	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	48, 49, 52, 55	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58	50, 51, 56, 57	addgegt0d 10601	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . 14
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
61	47, 60	reccld 10794	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
62		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . 15
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63, 18	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . 14
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
67	64, 66	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
68	61, 67	expcld 13008	. . . . . . . . . . 11 $/\$
69	42, 68	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 $/\$
70	19, 69	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$
71	10, 17, 18, 70	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 $/\$
72	71, 70	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 $/\$
73	9	stirlinglem6 40296	. . . . . . 7
74	6, 8, 72, 73	clim2ser 14385	. . . . . 6
75	5, 74	eqbrtrd 4675	. . . . 5
76		0z 11388	. . . . . . . 8
77		seq1 12814	. . . . . . . 8
78	76, 77	mp1i 13	. . . . . . 7
79	9	a1i 11	. . . . . . . 8
80		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$
85	83, 84	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$
87		2cnd 11093	. . . . . . . . 9
88		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . 13
89	87, 88	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12
90		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12
91	89, 90	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11
92	87	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . . . 16
93	92	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
95	4, 94	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13
96	57, 95	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12
97	96	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . 11
98	91, 97	reccld 10794	. . . . . . . . . 10
99	87, 43	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13
100	99, 90	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12
101	100, 59	reccld 10794	. . . . . . . . . . 11
102	95, 65	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . . . 11
103	101, 102	expcld 13008	. . . . . . . . . 10
104	98, 103	mulcld 10060	. . . . . . . . 9
105	87, 104	mulcld 10060	. . . . . . . 8
106	79, 86, 8, 105	fvmptd 6288	. . . . . . 7
107	92	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
108	107, 3	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
110	90	div1d 10793	. . . . . . . . . . . 12
111	109, 110	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11
112	108	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
113	101	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . 12
114	112, 113	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11
115	111, 114	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
116	101	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10
117	115, 116	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9
118	117	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
119	87, 90, 100, 59	divassd 10836	. . . . . . . 8
120	87	mulid1d 10057	. . . . . . . . 9
121	120	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
122	118, 119, 121	3eqtr2d 2662	. . . . . . 7
123	78, 106, 122	3eqtrd 2660	. . . . . 6
124	123	oveq2d 6666	. . . . 5
125	75, 124	breqtrd 4679	. . . 4
126	90, 99	addcld 10059	. . . . 5
127	126	halfcld 11277	. . . 4
128		seqex 12803	. . . . 5
129	128	a1i 11	. . . 4
130		elnnuz 11724	. . . . . . 7
131	130	biimpi 206	. . . . . 6
132	131	adantl 482	. . . . 5 $/\$
133	9	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
134		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
135	134	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
136	135	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
137	135	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
138	136, 137	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
139	138	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
140	139	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
141		elfzuz 12338	. . . . . . . . 9
142		elnnuz 11724	. . . . . . . . . 10
143	142	biimpri 218	. . . . . . . . 9
144		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9
145	141, 143, 144	3syl 18	. . . . . . . 8
146	145	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
147		2cnd 11093	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
148	146	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
149	147, 148	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
150		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
151	149, 150	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
152		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12
153		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14
154		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14
155	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
156		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . 16
157	155, 156	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15
158	157, 154	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14
159	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
160		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
162		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . 16
163	161, 162	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . 15
164	154, 163	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . . . 14
165	153, 154, 158, 159, 164	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . 13
166	165	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . 12
167	152, 166	syl 17	. . . . . . . . . . 11
168	167	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
169	151, 168	reccld 10794	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
170	101	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
171	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
172	171, 146	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
173	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
174	172, 173	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
175	170, 174	expcld 13008	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
176	169, 175	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
177	147, 176	mulcld 10060	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
178	133, 140, 146, 177	fvmptd 6288	. . . . . 6 $/\$ $/\$
179	178, 177	eqeltrd 2701	. . . . 5 $/\$ $/\$
180		addcl 10018	. . . . . 6 $/\$
181	180	adantl 482	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
182	132, 179, 181	seqcl 12821	. . . 4 $/\$
183		1cnd 10056	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
184		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
185	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
186	184, 185	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
187	183, 186	addcld 10059	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188	187	halfcld 11277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
189		simprl 794	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
190		simprr 796	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
191	188, 189, 190	adddid 10064	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
192		stirlinglem7.2	. . . . . . . 8
193	192	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
194	134	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
195	136, 194	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
196	195	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
197	152	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
198	170, 172	expcld 13008	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
199	169, 198	mulcld 10060	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
200	193, 196, 197, 199	fvmptd 6288	. . . . . 6 $/\$ $/\$
201	126	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
202		2ne0 11113	. . . . . . . . 9
203	202	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
204	201, 147, 177, 203	div32d 10824	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
205	176, 147, 203	divcan3d 10806	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
206	205	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
207	201, 169, 175	mul12d 10245	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
208	100	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
209	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
210	174	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
211	208, 209, 210	exprecd 13016	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
212	211	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
213	208, 174	expcld 13008	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
214	208, 209, 210	expne0d 13014	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
215	201, 213, 214	divrecd 10804	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
216	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
217	147, 216	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
218	150, 217	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
219	208, 172	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
220	219, 208	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
221	218, 220	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
222	208, 172	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
223	222	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
224		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15
225	224	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
226	146	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
227	225, 226	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
228	208, 209, 227	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
229	208, 208, 219, 209, 228	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
230	221, 223, 229	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
231	212, 215, 230	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
232	231	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
233	208, 209	dividd 10799	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
234		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . 13
235	227, 234	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
236	233, 235	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
237	236	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
238	150, 208, 209, 172	expdivd 13022	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
239	237, 238	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
240	239	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
241	207, 232, 240	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
242	204, 206, 241	3eqtrd 2660	. . . . . 6 $/\$ $/\$
243	178	eqcomd 2628	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
244	243	oveq2d 6666	. . . . . 6 $/\$ $/\$
245	200, 242, 244	3eqtr2d 2662	. . . . 5 $/\$ $/\$
246	181, 191, 132, 179, 245	seqdistr 12852	. . . 4 $/\$
247	1, 2, 125, 127, 129, 182, 246	climmulc2 14367	. . 3
248	90, 99	addcomd 10238	. . . . . 6
249	248	oveq1d 6665	. . . . 5
250	249	oveq1d 6665	. . . 4
251	249, 127	eqeltrrd 2702	. . . . 5
252	43, 90	addcld 10059	. . . . . . 7
253		nnne0 11053	. . . . . . 7
254	252, 43, 253	divcld 10801	. . . . . 6
255	49, 51	readdcld 10069	. . . . . . . . 9
256	49	ltp1d 10954	. . . . . . . . 9
257	53, 49, 255, 54, 256	lttrd 10198	. . . . . . . 8
258	257	gt0ne0d 10592	. . . . . . 7
259	252, 43, 258, 253	divne0d 10817	. . . . . 6
260	254, 259	logcld 24317	. . . . 5
261	87, 100, 59	divcld 10801	. . . . 5
262	251, 260, 261	subdid 10486	. . . 4
263	99, 90	addcomd 10238	. . . . . . 7
264	263	oveq1d 6665	. . . . . 6
265	264	oveq1d 6665	. . . . 5
266	202	a1i 11	. . . . . 6
267	100, 87, 59, 266	divcan6d 10820	. . . . 5
268	265, 267	oveq12d 6668	. . . 4
269	250, 262, 268	3eqtrd 2660	. . 3
270	247, 269	breqtrd 4679	. 2
271		stirlinglem7.1	. . . 4
272	271	a1i 11	. . 3
273		oveq2 6658	. . . . . . . 8
274	273	oveq2d 6666	. . . . . . 7
275	274	oveq1d 6665	. . . . . 6
276		oveq1 6657	. . . . . . . 8
277		id 22	. . . . . . . 8
278	276, 277	oveq12d 6668	. . . . . . 7
279	278	fveq2d 6195	. . . . . 6
280	275, 279	oveq12d 6668	. . . . 5
281	280	oveq1d 6665	. . . 4
282	281	adantl 482	. . 3 $/\$
283		id 22	. . 3
284	127, 260	mulcld 10060	. . . 4
285	284, 90	subcld 10392	. . 3
286	272, 282, 283, 285	fvmptd 6288	. 2
287	270, 286	breqtrrd 4681	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cvv 3200 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cseq 12801

cexp 12860

cli 14215

clog 24301

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-ulm 24131 df-log 24303

This theorem is referenced by: stirlinglem9 40299

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