Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.18 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem jm2.18 37555
Description: Theorem 2.18 of [JonesMatijasevic] p. 696. Direct relationship of the exponential function to X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.18 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm N ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm N ) ) ) - ( K ^ N ) ) )
Proof of Theorem jm2.18
Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11409 . . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
2 eluzelz 11697 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
32adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> A e. ZZ )
4 zmulcl 11426 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
51, 3, 4sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
6 nn0z 11400 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
76adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> K e. ZZ )
85, 7zmulcld 11488 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( 2 x. A ) x. K ) e. ZZ )
9 zsqcl 12934 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( K ^ 2 ) e. ZZ )
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( K ^ 2 ) e. ZZ )
118, 10zsubcld 11487 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) e. ZZ )
12 peano2zm 11420 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) e. ZZ -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ )
1311, 12syl 17 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ )
14 dvds0 14997 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || 0 )
1513, 14syl 17 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || 0 )
16 rmx0 37490 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Xrm 0 ) = 1 )
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( A Xrm 0 ) = 1 )
18 rmy0 37494 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
1918adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
2019oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) = ( ( A - K ) x. 0 ) )
213, 7zsubcld 11487 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( A - K ) e. ZZ )
2221zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( A - K ) e. CC )
2322mul01d 10235 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( A - K ) x. 0 ) = 0 )
2420, 23eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) = 0 )
2517, 24oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( A Xrm 0 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = ( 1 - 0 ) )
26 1m0e1 11131 . . . . . . . 8 |- ( 1 - 0 ) = 1
2725, 26syl6eq 2672 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( A Xrm 0 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) = 1 )
28 nn0cn 11302 . . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. CC )
2928adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> K e. CC )
3029exp0d 13002 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( K ^ 0 ) = 1 )
3127, 30oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm 0 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) - ( K ^ 0 ) ) = ( 1 - 1 ) )
32 1m1e0 11089 . . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
3331, 32syl6eq 2672 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm 0 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) - ( K ^ 0 ) ) = 0 )
3415, 33breqtrrd 4681 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm 0 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) - ( K ^ 0 ) ) )
35 rmx1 37491 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Xrm 1 ) = A )
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( A Xrm 1 ) = A )
37 rmy1 37495 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 1 ) = 1 )
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( A Yrm 1 ) = 1 )
3938oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) = ( ( A - K ) x. 1 ) )
4022mulid1d 10057 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( A - K ) x. 1 ) = ( A - K ) )
4139, 40eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) = ( A - K ) )
4236, 41oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( A Xrm 1 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) ) = ( A - ( A - K ) ) )
433zcnd 11483 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> A e. CC )
4443, 29nncand 10397 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( A - ( A - K ) ) = K )
4542, 44eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( A Xrm 1 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) ) = K )
4629exp1d 13003 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( K ^ 1 ) = K )
4745, 46oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm 1 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) ) - ( K ^ 1 ) ) = ( K - K ) )
4829subidd 10380 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( K - K ) = 0 )
4947, 48eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( A Xrm 1 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) ) - ( K ^ 1 ) ) = 0 )
5015, 49breqtrrd 4681 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm 1 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) ) - ( K ^ 1 ) ) )
51 pm3.43 906 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) ) /\ ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) )
5213adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ )
535adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
54 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
55 nnz 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. NN -> b e. ZZ )
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> b e. ZZ )
57 frmx 37478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
5857fovcl 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Xrm b ) e. NN0 )
5954, 56, 58syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Xrm b ) e. NN0 )
6059nn0zd 11480 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Xrm b ) e. ZZ )
6121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A - K ) e. ZZ )
62 frmy 37479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
6362fovcl 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Yrm b ) e. ZZ )
6454, 56, 63syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Yrm b ) e. ZZ )
6561, 64zmulcld 11488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) e. ZZ )
6660, 65zsubcld 11487 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) e. ZZ )
6753, 66zmulcld 11488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) e. ZZ )
68 peano2zm 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ZZ -> ( b - 1 ) e. ZZ )
6956, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( b - 1 ) e. ZZ )
7057fovcl 6765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( b - 1 ) ) e. NN0 )
7154, 69, 70syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Xrm ( b - 1 ) ) e. NN0 )
7271nn0zd 11480 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Xrm ( b - 1 ) ) e. ZZ )
7362fovcl 6765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ )
7454, 69, 73syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ )
7561, 74zmulcld 11488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) e. ZZ )
7672, 75zsubcld 11487 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) e. ZZ )
7767, 76zsubcld 11487 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) e. ZZ )
7852, 77jca 554 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) e. ZZ ) )
7978adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) e. ZZ ) )
807adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> K e. ZZ )
81 nnnn0 11299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. NN -> b e. NN0 )
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> b e. NN0 )
83 zexpcl 12875 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ b e. NN0 ) -> ( K ^ b ) e. ZZ )
8480, 82, 83syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( K ^ b ) e. ZZ )
8553, 84zmulcld 11488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) e. ZZ )
86 nnm1nn0 11334 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. NN -> ( b - 1 ) e. NN0 )
8786adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( b - 1 ) e. NN0 )
88 zexpcl 12875 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ ( b - 1 ) e. NN0 ) -> ( K ^ ( b - 1 ) ) e. ZZ )
8980, 87, 88syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( K ^ ( b - 1 ) ) e. ZZ )
9085, 89zsubcld 11487 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) e. ZZ )
91 0z 11388 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. ZZ
92 zaddcl 11417 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( K ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( 0 + ( K ^ 2 ) ) e. ZZ )
9391, 10, 92sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( 0 + ( K ^ 2 ) ) e. ZZ )
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( 0 + ( K ^ 2 ) ) e. ZZ )
9589, 94zmulcld 11488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
9690, 95jca 554 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) )
9796adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) )
9852, 67, 853jca 1242 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) e. ZZ ) )
9998adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) e. ZZ ) )
10076, 89jca 554 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) e. ZZ /\ ( K ^ ( b - 1 ) ) e. ZZ ) )
101100adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) e. ZZ /\ ( K ^ ( b - 1 ) ) e. ZZ ) )
10213, 5, 53jca 1242 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) )
103102ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) )
10466, 84jca 554 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) e. ZZ /\ ( K ^ b ) e. ZZ ) )
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) -> ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) e. ZZ /\ ( K ^ b ) e. ZZ ) )
106 congid 37538 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. A ) ) )
10713, 5, 106syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. A ) ) )
108107ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. A ) ) )
109 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) )
110 congmul 37534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) /\ ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) e. ZZ /\ ( K ^ b ) e. ZZ ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. A ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) ) )
111103, 105, 108, 109, 110syl112anc 1330 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) ) )
112111adantrl 752 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) ) )
113 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) )
114 congsub 37537 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) e. ZZ ) /\ ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) e. ZZ /\ ( K ^ ( b - 1 ) ) e. ZZ ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) - ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) ) )
11599, 101, 112, 113, 114syl112anc 1330 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) - ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) ) )
11613, 10zaddcld 11486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) e. ZZ )
117116adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) e. ZZ )
118 congid 37538 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( K ^ ( b - 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( K ^ ( b - 1 ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) )
11952, 89, 118syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( K ^ ( b - 1 ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) )
120 0zd 11389 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
121 iddvds 14995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) )
12213, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) )
12313zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. CC )
124123subid1d 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) - 0 ) = ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) )
125122, 124breqtrrd 4681 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) - 0 ) )
126 congid 37538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( K ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( K ^ 2 ) - ( K ^ 2 ) ) )
12713, 10, 126syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( K ^ 2 ) - ( K ^ 2 ) ) )
128 congadd 37533 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) /\ ( ( K ^ 2 ) e. ZZ /\ ( K ^ 2 ) e. ZZ ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) - 0 ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( K ^ 2 ) - ( K ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) - ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) )
12913, 13, 120, 10, 10, 125, 127, 128syl322anc 1354 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) - ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) )
130129adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) - ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) )
131 congmul 37534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( K ^ ( b - 1 ) ) e. ZZ /\ ( K ^ ( b - 1 ) ) e. ZZ ) /\ ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( 0 + ( K ^ 2 ) ) e. ZZ ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( K ^ ( b - 1 ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) - ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) )
13252, 89, 89, 117, 94, 119, 130, 131syl322anc 1354 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) )
13311zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) e. CC )
13429sqcld 13006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( K ^ 2 ) e. CC )
135 1cnd 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> 1 e. CC )
136133, 134, 135addsubd 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) + ( K ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) )
1378zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( 2 x. A ) x. K ) e. CC )
138137, 134npcand 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) + ( K ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. A ) x. K ) )
139138oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) + ( K ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - 1 ) )
140136, 139eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - 1 ) )
141140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - 1 ) )
142141oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) ) = ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - 1 ) ) )
14328ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> K e. CC )
144143, 87expcld 13008 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( K ^ ( b - 1 ) ) e. CC )
145137adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. K ) e. CC )
146 1cnd 10056 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> 1 e. CC )
147144, 145, 146subdid 10486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - 1 ) ) = ( ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) x. K ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. 1 ) ) )
1485zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
149148adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
150144, 149, 143mul12d 10245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) x. K ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. K ) ) )
151 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> b e. NN )
152 expm1t 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. CC /\ b e. NN ) -> ( K ^ b ) = ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. K ) )
153143, 151, 152syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( K ^ b ) = ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. K ) )
154153oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. K ) ) )
155150, 154eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) x. K ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) )
156144mulid1d 10057 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. 1 ) = ( K ^ ( b - 1 ) ) )
157155, 156oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) x. K ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) )
158142, 147, 1573eqtrrd 2661 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) = ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) ) )
159158oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) + ( K ^ 2 ) ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) )
160132, 159breqtrrd 4681 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) )
161160adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) )
162 congtr 37532 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) e. ZZ ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) - ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( K ^ b ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) )
16379, 97, 115, 161, 162syl112anc 1330 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) )
164 rmxluc 37501 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Xrm ( b + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm b ) ) - ( A Xrm ( b - 1 ) ) ) )
16554, 56, 164syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Xrm ( b + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm b ) ) - ( A Xrm ( b - 1 ) ) ) )
166 rmyluc 37502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Yrm ( b + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) )
16754, 56, 166syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Yrm ( b + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) )
168167oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) = ( ( A - K ) x. ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) )
1692zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. CC )
170169ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> A e. CC )
171170, 143subcld 10392 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A - K ) e. CC )
172 2cn 11091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
17363zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Yrm b ) e. CC )
17454, 56, 173syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Yrm b ) e. CC )
175174, 170mulcld 10060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A Yrm b ) x. A ) e. CC )
176 mulcl 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( A Yrm b ) x. A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) e. CC )
177172, 175, 176sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) e. CC )
17873zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. CC )
17954, 69, 178syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. CC )
180171, 177, 179subdid 10486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A - K ) x. ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) = ( ( ( A - K ) x. ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) )
181 2cnd 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> 2 e. CC )
182181, 174, 170mul12d 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) = ( ( A Yrm b ) x. ( 2 x. A ) ) )
183174, 149mulcomd 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A Yrm b ) x. ( 2 x. A ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm b ) ) )
184182, 183eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm b ) ) )
185184oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A - K ) x. ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) ) = ( ( A - K ) x. ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm b ) ) ) )
186171, 149, 174mul12d 10245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A - K ) x. ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm b ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) )
187185, 186eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A - K ) x. ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) )
188187oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( A - K ) x. ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) )
189168, 180, 1883eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) )
190165, 189oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm b ) ) - ( A Xrm ( b - 1 ) ) ) - ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) )
19158nn0cnd 11353 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Xrm b ) e. CC )
19254, 56, 191syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Xrm b ) e. CC )
193149, 192mulcld 10060 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm b ) ) e. CC )
19470nn0cnd 11353 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( b - 1 ) ) e. CC )
19554, 69, 194syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( A Xrm ( b - 1 ) ) e. CC )
196171, 174mulcld 10060 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) e. CC )
197149, 196mulcld 10060 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) e. CC )
198171, 179mulcld 10060 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) e. CC )
199193, 195, 197, 198sub4d 10441 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm b ) ) - ( A Xrm ( b - 1 ) ) ) - ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm b ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) )
200149, 192, 196subdid 10486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm b ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) )
201200eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm b ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) )
202201oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Xrm b ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) )
203190, 199, 2023eqtrd 2660 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) )
204143, 82expp1d 13009 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( K ^ ( b + 1 ) ) = ( ( K ^ b ) x. K ) )
205 nncn 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. NN -> b e. CC )
206205adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> b e. CC )
207 ax-1cn 9994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
208 npcan 10290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( b - 1 ) + 1 ) = b )
209206, 207, 208sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( b - 1 ) + 1 ) = b )
210209oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( K ^ ( ( b - 1 ) + 1 ) ) = ( K ^ b ) )
211143, 87expp1d 13009 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( K ^ ( ( b - 1 ) + 1 ) ) = ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. K ) )
212210, 211eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( K ^ b ) = ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. K ) )
213212oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( K ^ b ) x. K ) = ( ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. K ) x. K ) )
214144, 143, 143mulassd 10063 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. K ) x. K ) = ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( K x. K ) ) )
215134addid2d 10237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( 0 + ( K ^ 2 ) ) = ( K ^ 2 ) )
21629sqvald 13005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( K ^ 2 ) = ( K x. K ) )
217215, 216eqtr2d 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( K x. K ) = ( 0 + ( K ^ 2 ) ) )
218217adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( K x. K ) = ( 0 + ( K ^ 2 ) ) )
219218oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( K x. K ) ) = ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) )
220214, 219eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. K ) x. K ) = ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) )
221204, 213, 2203eqtrd 2660 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( K ^ ( b + 1 ) ) = ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) )
222203, 221oveq12d 6668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) )
223222adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. A ) x. ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) ) - ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) - ( ( K ^ ( b - 1 ) ) x. ( 0 + ( K ^ 2 ) ) ) ) )
224163, 223breqtrrd 4681 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) /\ ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b + 1 ) ) ) )
225224ex 450 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ b e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b + 1 ) ) ) ) )
226225expcom 451 . . . . . 6 |- ( b e. NN -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b + 1 ) ) ) ) ) )
227226a2d 29 . . . . 5 |- ( b e. NN -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b + 1 ) ) ) ) ) )
22851, 227syl5 34 . . . 4 |- ( b e. NN -> ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) ) /\ ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b + 1 ) ) ) ) ) )
229 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( A Xrm a ) = ( A Xrm 0 ) )
230 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( a = 0 -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm 0 ) )
231230oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) = ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) )
232229, 231oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) = ( ( A Xrm 0 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) )
233 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( K ^ a ) = ( K ^ 0 ) )
234232, 233oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) = ( ( ( A Xrm 0 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) - ( K ^ 0 ) ) )
235234breq2d 4665 . . . . 5 |- ( a = 0 -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) <-> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm 0 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) - ( K ^ 0 ) ) ) )
236235imbi2d 330 . . . 4 |- ( a = 0 -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm 0 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 0 ) ) ) - ( K ^ 0 ) ) ) ) )
237 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( a = 1 -> ( A Xrm a ) = ( A Xrm 1 ) )
238 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( a = 1 -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm 1 ) )
239238oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( a = 1 -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) = ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) )
240237, 239oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( a = 1 -> ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) = ( ( A Xrm 1 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) ) )
241 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( a = 1 -> ( K ^ a ) = ( K ^ 1 ) )
242240, 241oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( a = 1 -> ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) = ( ( ( A Xrm 1 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) ) - ( K ^ 1 ) ) )
243242breq2d 4665 . . . . 5 |- ( a = 1 -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) <-> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm 1 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) ) - ( K ^ 1 ) ) ) )
244243imbi2d 330 . . . 4 |- ( a = 1 -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm 1 ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm 1 ) ) ) - ( K ^ 1 ) ) ) ) )
245 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( A Xrm a ) = ( A Xrm ( b - 1 ) ) )
246 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm ( b - 1 ) ) )
247246oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) = ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) )
248245, 247oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) = ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) )
249 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( K ^ a ) = ( K ^ ( b - 1 ) ) )
250248, 249oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) = ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) )
251250breq2d 4665 . . . . 5 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) <-> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) ) )
252251imbi2d 330 . . . 4 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b - 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b - 1 ) ) ) ) ) )
253 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( A Xrm a ) = ( A Xrm b ) )
254 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm b ) )
255254oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) = ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) )
256253, 255oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( a = b -> ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) = ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) )
257 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( a = b -> ( K ^ a ) = ( K ^ b ) )
258256, 257oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( a = b -> ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) = ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) )
259258breq2d 4665 . . . . 5 |- ( a = b -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) <-> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) )
260259imbi2d 330 . . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm b ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm b ) ) ) - ( K ^ b ) ) ) ) )
261 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( A Xrm a ) = ( A Xrm ( b + 1 ) ) )
262 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm ( b + 1 ) ) )
263262oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) = ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) )
264261, 263oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) = ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) )
265 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( K ^ a ) = ( K ^ ( b + 1 ) ) )
266264, 265oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) = ( ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b + 1 ) ) ) )
267266breq2d 4665 . . . . 5 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) <-> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b + 1 ) ) ) ) )
268267imbi2d 330 . . . 4 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm ( b + 1 ) ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) - ( K ^ ( b + 1 ) ) ) ) ) )
269 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( a = N -> ( A Xrm a ) = ( A Xrm N ) )
270 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( a = N -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm N ) )
271270oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( a = N -> ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) = ( ( A - K ) x. ( A Yrm N ) ) )
272269, 271oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( a = N -> ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) = ( ( A Xrm N ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
273 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( a = N -> ( K ^ a ) = ( K ^ N ) )
274272, 273oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( a = N -> ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) = ( ( ( A Xrm N ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm N ) ) ) - ( K ^ N ) ) )
275274breq2d 4665 . . . . 5 |- ( a = N -> ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) <-> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm N ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm N ) ) ) - ( K ^ N ) ) ) )
276275imbi2d 330 . . . 4 |- ( a = N -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm a ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm a ) ) ) - ( K ^ a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm N ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm N ) ) ) - ( K ^ N ) ) ) ) )
27734, 50, 228, 236, 244, 252, 260, 268, 2762nn0ind 37510 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm N ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm N ) ) ) - ( K ^ N ) ) ) )
278277impcom 446 . 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm N ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm N ) ) ) - ( K ^ N ) ) )
2792783impa 1259 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A Xrm N ) - ( ( A - K ) x. ( A Yrm N ) ) ) - ( K ^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Xrm crmx 37464   Yrm crmy 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467
This theorem is referenced by:  jm3.1  37587
  Copyright terms: Public domain W3C validator