Theorem lgamgulmlem4 24758

Description: Lemma for lgamgulm 24761. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	|- ( ph -> R e. NN )
lgamgulm.u	|- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
lgamgulm.g	|- G = ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t	|- T = ( m e. NN |-> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem4	|- ( ph -> seq 1 ( + , T ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   k, m, x, z, R   U, m, z   ph, m, x, z

Allowed substitution hints:   ph( k)   T( x, z, k, m)   U( x, k)   G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem4

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11185	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
2	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. NN )
3		lgamgulm.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. NN )
4	2, 3	nnmulcld 11068	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. R ) e. NN )
5	4	nnzd 11481	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 x. R ) e. ZZ )
6		eluzle 11700	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( 2 x. R ) ) -> ( 2 x. R ) <_ n )
7	6	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 x. R ) ) ) -> ( 2 x. R ) <_ n )
8	7	iftrued 4094	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 x. R ) ) ) -> if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) = ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) )
9		eluznn 11758	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. R ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 x. R ) ) ) -> n e. NN )
10	4, 9	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 x. R ) ) ) -> n e. NN )
11		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( 2 x. R ) <_ m <-> ( 2 x. R ) <_ n ) )
12		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( m ^ 2 ) = ( n ^ 2 ) )
13	12	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) )
14	13	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) = ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) )
15		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( m + 1 ) = ( n + 1 ) )
16		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> m = n )
17	15, 16	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( m + 1 ) / m ) = ( ( n + 1 ) / n ) )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) = ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) = ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) )
20		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( R + 1 ) x. m ) = ( ( R + 1 ) x. n ) )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) = ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) = ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) )
23	19, 22	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) = ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) )
24	11, 14, 23	ifbieq12d 4113	. . . . . . 7 |- ( m = n -> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) = if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) )
25		lgamgulm.t	. . . . . . 7 |- T = ( m e. NN |-> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) )
26		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) e. _V
27		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) e. _V
28	26, 27	ifex 4156	. . . . . . 7 |- if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) e. _V
29	24, 25, 28	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( T ` n ) = if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) )
30	10, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 x. R ) ) ) -> ( T ` n ) = if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) )
31		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) )
32	14, 31, 26	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) )
33	10, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 x. R ) ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) )
34	8, 30, 33	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 x. R ) ) ) -> ( T ` n ) = ( ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ` n ) )
35	5, 34	seqfeq 12826	. . 3 |- ( ph -> seq ( 2 x. R ) ( + , T ) = seq ( 2 x. R ) ( + , ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ) )
36		nnuz 11723	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
37		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
38	3	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. CC )
39		2cnd 11093	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
40		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
41	38, 40	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R + 1 ) e. CC )
42	39, 41	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( R + 1 ) ) e. CC )
43	38, 42	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) e. CC )
44		1lt2 11194	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 2
45		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
46		rere 13862	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. RR -> ( Re ` 2 ) = 2 )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( Re ` 2 ) = 2
48	44, 47	breqtrri 4680	. . . . . . . . 9 |- 1 < ( Re ` 2 )
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( Re ` 2 ) )
50		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( m ^c -u 2 ) = ( n ^c -u 2 ) )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) = ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) )
52		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( n ^c -u 2 ) e. _V
53	50, 51, 52	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ` n ) = ( n ^c -u 2 ) )
54	53	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ` n ) = ( n ^c -u 2 ) )
55	39, 49, 54	zetacvg 24741	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ) e. dom ~~> )
56		climdm 14285	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ) e. dom ~~> <-> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ) ~~> ( ~~> ` seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ) ) )
57	55, 56	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ) ~~> ( ~~> ` seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ) ) )
58		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
59	58	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. CC )
60		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 2 e. CC )
61	60	negcld 10379	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u 2 e. CC )
62	59, 61	cxpcld 24454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n ^c -u 2 ) e. CC )
63	54, 62	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ` n ) e. CC )
64	38	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> R e. CC )
65		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 1 e. CC )
66	64, 65	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( R + 1 ) e. CC )
67	60, 66	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. ( R + 1 ) ) e. CC )
68	64, 67	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) e. CC )
69	59	sqcld 13006	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n ^ 2 ) e. CC )
70	58	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n =/= 0 )
71		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 2 e. ZZ )
73	59, 70, 72	expne0d 13014	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n ^ 2 ) =/= 0 )
74	68, 69, 73	divrecd 10804	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) / ( n ^ 2 ) ) = ( ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) x. ( 1 / ( n ^ 2 ) ) ) )
75	64, 67, 69, 73	divassd 10836	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) / ( n ^ 2 ) ) = ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) )
76	59, 70, 60	cxpnegd 24461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n ^c -u 2 ) = ( 1 / ( n ^c 2 ) ) )
77	59, 70, 72	cxpexpzd 24457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n ^c 2 ) = ( n ^ 2 ) )
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / ( n ^c 2 ) ) = ( 1 / ( n ^ 2 ) ) )
79	76, 78	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / ( n ^ 2 ) ) = ( n ^c -u 2 ) )
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) x. ( 1 / ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) x. ( n ^c -u 2 ) ) )
81	74, 75, 80	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) x. ( n ^c -u 2 ) ) )
82	32	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) )
83	54	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) x. ( ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ` n ) ) = ( ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) x. ( n ^c -u 2 ) ) )
84	81, 82, 83	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ` n ) = ( ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) x. ( ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ` n ) ) )
85	36, 37, 43, 57, 63, 84	isermulc2 14388	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ) ~~> ( ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) x. ( ~~> ` seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ) ) ) )
86		climrel 14223	. . . . . 6 |- Rel ~~>
87	86	releldmi 5362	. . . . 5 |- ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ) ~~> ( ( R x. ( 2 x. ( R + 1 ) ) ) x. ( ~~> ` seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( m ^c -u 2 ) ) ) ) ) -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ) e. dom ~~> )
88	85, 87	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ) e. dom ~~> )
89	67, 69, 73	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) e. CC )
90	64, 89	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) e. CC )
91	82, 90	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ` n ) e. CC )
92	36, 4, 91	iserex 14387	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq ( 2 x. R ) ( + , ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
93	88, 92	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> seq ( 2 x. R ) ( + , ( m e. NN |-> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) ) ) e. dom ~~> )
94	35, 93	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> seq ( 2 x. R ) ( + , T ) e. dom ~~> )
95	29	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ` n ) = if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) )
96	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> R e. NN )
97	96	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> R e. RR )
98	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 2 e. RR )
99		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 1 e. RR )
100	97, 99	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( R + 1 ) e. RR )
101	98, 100	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 x. ( R + 1 ) ) e. RR )
102	58	nnsqcld 13029	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n ^ 2 ) e. NN )
103	101, 102	nndivred 11069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) e. RR )
104	97, 103	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) e. RR )
105	58	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. NN )
106	105	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. RR+ )
107	58	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. RR+ )
108	106, 107	rpdivcld 11889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n + 1 ) / n ) e. RR+ )
109	108	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) e. RR )
110	97, 109	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) e. RR )
111	96	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( R + 1 ) e. NN )
112	111	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( R + 1 ) e. RR+ )
113	112, 107	rpmulcld 11888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( R + 1 ) x. n ) e. RR+ )
114	113	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) e. RR )
115		pire 24210	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
116	115	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> pi e. RR )
117	114, 116	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) e. RR )
118	110, 117	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) e. RR )
119	104, 118	ifcld 4131	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) e. RR )
120	95, 119	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ` n ) e. RR )
121	120	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ` n ) e. CC )
122	36, 4, 121	iserex 14387	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , T ) e. dom ~~> <-> seq ( 2 x. R ) ( + , T ) e. dom ~~> ) )
123	94, 122	mpbird 247	1 |- ( ph -> seq 1 ( + , T ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ^cexp 12860   Recre 13837   abscabs 13974   ~~> cli 14215   picpi 14797   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  24760