Theorem lgamgulmlem5 24759

Description: Lemma for lgamgulm 24761. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	|- ( ph -> R e. NN )
lgamgulm.u	|- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
lgamgulm.g	|- G = ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t	|- T = ( m e. NN |-> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem5	|- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( G ` n ) ` y ) ) <_ ( T ` n ) )

Distinct variable groups:   y, n, G   x, y   k, m, n, x, y, z, R   U, m, n, y, z   ph, m, n, x, y, z   T, n, y

Allowed substitution hints:   ph( k)   T( x, z, k, m)   U( x, k)   G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem5

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. . 3 |- ( ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) = if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) <-> ( abs ` ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) ) )
2		breq2 4657	. . 3 |- ( ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) = if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) <-> ( abs ` ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) ) )
3		lgamgulm.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. NN )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> R e. NN )
5	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) /\ ( 2 x. R ) <_ n ) -> R e. NN )
6		lgamgulm.u	. . . . 5 |- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
7		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = t -> ( abs ` x ) = ( abs ` t ) )
8	7	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( abs ` x ) <_ R <-> ( abs ` t ) <_ R ) )
9		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = t -> ( x + k ) = ( t + k ) )
10	9	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( abs ` ( x + k ) ) = ( abs ` ( t + k ) ) )
11	10	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( x = t -> ( ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) <-> ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( t + k ) ) ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) <-> A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( t + k ) ) ) )
13	8, 12	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( x = t -> ( ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) <-> ( ( abs ` t ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( t + k ) ) ) ) )
14	13	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) } = { t e. CC | ( ( abs ` t ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( t + k ) ) ) }
15	6, 14	eqtri 2644	. . . 4 |- U = { t e. CC | ( ( abs ` t ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( t + k ) ) ) }
16		simplrl 800	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) /\ ( 2 x. R ) <_ n ) -> n e. NN )
17		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> y e. U )
18	17	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) /\ ( 2 x. R ) <_ n ) -> y e. U )
19		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) /\ ( 2 x. R ) <_ n ) -> ( 2 x. R ) <_ n )
20	5, 15, 16, 18, 19	lgamgulmlem3 24757	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) /\ ( 2 x. R ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) )
21	3, 6	lgamgulmlem1 24755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U C_ ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> U C_ ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
23	22, 17	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> y e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
24	23	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> y e. CC )
25		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> n e. NN )
26	25	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
27	26	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( n + 1 ) e. RR+ )
28	25	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> n e. RR+ )
29	27, 28	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( n + 1 ) / n ) e. RR+ )
30	29	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) e. RR )
31	30	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) e. CC )
32	24, 31	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) e. CC )
33	25	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> n e. CC )
34	25	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> n =/= 0 )
35	24, 33, 34	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( y / n ) e. CC )
36		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> 1 e. CC )
37	35, 36	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( y / n ) + 1 ) e. CC )
38	23, 25	dmgmdivn0 24754	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( y / n ) + 1 ) =/= 0 )
39	37, 38	logcld 24317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) e. CC )
40	32, 39	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) e. CC )
41	40	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
42	32	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) ) e. RR )
43	39	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) e. RR )
44	42, 43	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) ) + ( abs ` ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
45	4	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> R e. RR )
46	45, 30	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) e. RR )
47	4	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( R + 1 ) e. NN )
48	47	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( R + 1 ) e. RR+ )
49	48, 28	rpmulcld 11888	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( R + 1 ) x. n ) e. RR+ )
50	49	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) e. RR )
51		pire 24210	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> pi e. RR )
53	50, 52	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) e. RR )
54	46, 53	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) e. RR )
55	32, 39	abs2dif2d 14197	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) ) + ( abs ` ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) )
56	24, 31	absmuld 14193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( abs ` ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) ) )
57	29	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( n + 1 ) / n ) e. RR )
58	33	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
59	25	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> n e. RR )
60	59	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> n <_ ( n + 1 ) )
61	58, 60	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( 1 x. n ) <_ ( n + 1 ) )
62		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> 1 e. RR )
63	59, 62	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( n + 1 ) e. RR )
64	62, 63, 28	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ ( n + 1 ) <-> 1 <_ ( ( n + 1 ) / n ) ) )
65	61, 64	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> 1 <_ ( ( n + 1 ) / n ) )
66	57, 65	logge0d 24376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> 0 <_ ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) )
67	30, 66	absidd 14161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) = ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) )
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` y ) x. ( abs ` ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) )
69	56, 68	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) )
70	24	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` y ) e. RR )
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( abs ` x ) = ( abs ` y ) )
72	71	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( abs ` x ) <_ R <-> ( abs ` y ) <_ R ) )
73		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( x + k ) = ( y + k ) )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( abs ` ( x + k ) ) = ( abs ` ( y + k ) ) )
75	74	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) <-> ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + k ) ) ) )
76	75	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) <-> A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + k ) ) ) )
77	72, 76	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) <-> ( ( abs ` y ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + k ) ) ) ) )
78	77, 6	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. U <-> ( y e. CC /\ ( ( abs ` y ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + k ) ) ) ) )
79	78	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. U -> ( ( abs ` y ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + k ) ) ) )
80	79	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` y ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + k ) ) ) )
81	80	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` y ) <_ R )
82	70, 45, 30, 66, 81	lemul1ad 10963	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` y ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) <_ ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) )
83	69, 82	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) ) <_ ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) )
84	37, 38	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) e. RR+ )
85	84	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) e. RR )
86	85	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) e. CC )
87	86	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
88	87, 52	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) + pi ) e. RR )
89		abslogle 24364	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y / n ) + 1 ) e. CC /\ ( ( y / n ) + 1 ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) + pi ) )
90	37, 38, 89	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) + pi ) )
91		1rp 11836	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
92		relogdiv 24339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( ( R + 1 ) x. n ) e. RR+ ) -> ( log ` ( 1 / ( ( R + 1 ) x. n ) ) ) = ( ( log ` 1 ) - ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) ) )
93	91, 49, 92	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( log ` ( 1 / ( ( R + 1 ) x. n ) ) ) = ( ( log ` 1 ) - ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) ) )
94		log1 24332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log ` 1 ) = 0
95	94	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( log ` 1 ) - ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) ) = ( 0 - ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) )
96		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) = ( 0 - ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) )
97	95, 96	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` 1 ) - ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) ) = -u ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) )
98	93, 97	syl6req 2673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> -u ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) = ( log ` ( 1 / ( ( R + 1 ) x. n ) ) ) )
99	47	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( 1 / ( R + 1 ) ) e. RR )
100	24, 33	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( y + n ) e. CC )
101	100	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( y + n ) ) e. RR )
102	4	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( 1 / R ) e. RR )
103	4	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> R e. RR+ )
104		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 <_ 1
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> 0 <_ 1 )
106	45	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> R <_ ( R + 1 ) )
107	103, 48, 62, 105, 106	lediv2ad 11894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( 1 / ( R + 1 ) ) <_ ( 1 / R ) )
108	25	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> n e. NN0 )
109	80	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + k ) ) )
110		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( y + k ) = ( y + n ) )
111	110	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( abs ` ( y + k ) ) = ( abs ` ( y + n ) ) )
112	111	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + k ) ) <-> ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + n ) ) ) )
113	112	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + k ) ) -> ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + n ) ) ) )
114	108, 109, 113	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( y + n ) ) )
115	99, 102, 101, 107, 114	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( 1 / ( R + 1 ) ) <_ ( abs ` ( y + n ) ) )
116	99, 101, 28, 115	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( 1 / ( R + 1 ) ) / n ) <_ ( ( abs ` ( y + n ) ) / n ) )
117	47	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( R + 1 ) e. CC )
118	47	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( R + 1 ) =/= 0 )
119	117, 33, 118, 34	recdiv2d 10819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( 1 / ( R + 1 ) ) / n ) = ( 1 / ( ( R + 1 ) x. n ) ) )
120	24, 33, 33, 34	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( y + n ) / n ) = ( ( y / n ) + ( n / n ) ) )
121	33, 34	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( n / n ) = 1 )
122	121	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( y / n ) + ( n / n ) ) = ( ( y / n ) + 1 ) )
123	120, 122	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( y / n ) + 1 ) = ( ( y + n ) / n ) )
124	123	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) = ( abs ` ( ( y + n ) / n ) ) )
125	100, 33, 34	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y + n ) / n ) ) = ( ( abs ` ( y + n ) ) / ( abs ` n ) ) )
126	28	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> 0 <_ n )
127	59, 126	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` n ) = n )
128	127	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` ( y + n ) ) / ( abs ` n ) ) = ( ( abs ` ( y + n ) ) / n ) )
129	124, 125, 128	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` ( y + n ) ) / n ) = ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) )
130	116, 119, 129	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( 1 / ( ( R + 1 ) x. n ) ) <_ ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) )
131	49	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( 1 / ( ( R + 1 ) x. n ) ) e. RR+ )
132	131, 84	logled 24373	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( 1 / ( ( R + 1 ) x. n ) ) <_ ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) <-> ( log ` ( 1 / ( ( R + 1 ) x. n ) ) ) <_ ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) )
133	130, 132	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( log ` ( 1 / ( ( R + 1 ) x. n ) ) ) <_ ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) )
134	98, 133	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> -u ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) <_ ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) )
135	37	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) e. RR )
136	45, 62	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( R + 1 ) e. RR )
137	49	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( R + 1 ) x. n ) e. RR )
138	35	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( y / n ) ) e. RR )
139	138, 62	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` ( y / n ) ) + 1 ) e. RR )
140	35, 36	abstrid 14195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( y / n ) ) + ( abs ` 1 ) ) )
141		abs1 14037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
142	141	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` ( y / n ) ) + ( abs ` 1 ) ) = ( ( abs ` ( y / n ) ) + 1 )
143	140, 142	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( y / n ) ) + 1 ) )
144	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> 1 e. RR+ )
145	24	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> 0 <_ ( abs ` y ) )
146	25	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> 1 <_ n )
147	70, 45, 144, 59, 145, 81, 146	lediv12ad 11931	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` y ) / n ) <_ ( R / 1 ) )
148	24, 33, 34	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( y / n ) ) = ( ( abs ` y ) / ( abs ` n ) ) )
149	127	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` y ) / ( abs ` n ) ) = ( ( abs ` y ) / n ) )
150	148, 149	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` y ) / n ) = ( abs ` ( y / n ) ) )
151	4	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> R e. CC )
152	151	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( R / 1 ) = R )
153	147, 150, 152	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( y / n ) ) <_ R )
154	138, 45, 62, 153	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` ( y / n ) ) + 1 ) <_ ( R + 1 ) )
155	135, 139, 136, 143, 154	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) <_ ( R + 1 ) )
156	48	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> 0 <_ ( R + 1 ) )
157	136, 59, 156, 146	lemulge11d 10961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( R + 1 ) <_ ( ( R + 1 ) x. n ) )
158	135, 136, 137, 155, 157	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) <_ ( ( R + 1 ) x. n ) )
159	84, 49	logled 24373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) <_ ( ( R + 1 ) x. n ) <-> ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) <_ ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) ) )
160	158, 159	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) <_ ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) )
161	85, 50	absled 14169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) <-> ( -u ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) <_ ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) /\ ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) <_ ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) ) ) )
162	134, 160, 161	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) )
163	87, 50, 52, 162	leadd1dd 10641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` ( log ` ( abs ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) + pi ) <_ ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) )
164	43, 88, 53, 90, 163	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) <_ ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) )
165	42, 43, 46, 53, 83, 164	le2addd 10646	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( abs ` ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) ) + ( abs ` ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) )
166	41, 44, 54, 55, 165	letrd 10194	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) )
167	166	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) /\ -. ( 2 x. R ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) )
168	1, 2, 20, 167	ifbothda 4123	. 2 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) <_ if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) )
169		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( m + 1 ) = ( n + 1 ) )
170		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> m = n )
171	169, 170	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( m + 1 ) / m ) = ( ( n + 1 ) / n ) )
172	171	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) = ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) )
173	172	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) = ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) )
174		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( z / m ) = ( z / n ) )
175	174	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( z / m ) + 1 ) = ( ( z / n ) + 1 ) )
176	175	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) = ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) )
177	173, 176	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) = ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) )
178	177	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) = ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) ) )
179		lgamgulm.g	. . . . . . 7 |- G = ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) )
180		cnex 10017	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
181	6, 180	rabex2 4815	. . . . . . . 8 |- U e. _V
182	181	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) ) e. _V
183	178, 179, 182	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( G ` n ) = ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) ) )
184	183	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( G ` n ) = ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) ) )
185	184	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( G ` n ) ` y ) = ( ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) ) ` y ) )
186		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) = ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) )
187		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z / n ) = ( y / n ) )
188	187	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( z / n ) + 1 ) = ( ( y / n ) + 1 ) )
189	188	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) = ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) )
190	186, 189	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) = ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) )
191		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) ) = ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) )
192		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) e. _V
193	190, 191, 192	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( y e. U -> ( ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) ) ` y ) = ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) )
194	193	ad2antll 765	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( z / n ) + 1 ) ) ) ) ` y ) = ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) )
195	185, 194	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( ( G ` n ) ` y ) = ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) )
196	195	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( G ` n ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( y x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - ( log ` ( ( y / n ) + 1 ) ) ) ) )
197		breq2 4657	. . . . 5 |- ( m = n -> ( ( 2 x. R ) <_ m <-> ( 2 x. R ) <_ n ) )
198		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( m ^ 2 ) = ( n ^ 2 ) )
199	198	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) )
200	199	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( m = n -> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) = ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) )
201	172	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) = ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) )
202		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( R + 1 ) x. m ) = ( ( R + 1 ) x. n ) )
203	202	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) = ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) )
204	203	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) = ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) )
205	201, 204	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( m = n -> ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) = ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) )
206	197, 200, 205	ifbieq12d 4113	. . . 4 |- ( m = n -> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) = if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) )
207		lgamgulm.t	. . . 4 |- T = ( m e. NN |-> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) )
208		ovex 6678	. . . . 5 |- ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) e. _V
209		ovex 6678	. . . . 5 |- ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) e. _V
210	208, 209	ifex 4156	. . . 4 |- if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) e. _V
211	206, 207, 210	fvmpt 6282	. . 3 |- ( n e. NN -> ( T ` n ) = if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) )
212	211	ad2antrl 764	. 2 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( T ` n ) = if ( ( 2 x. R ) <_ n , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( n ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. n ) ) + pi ) ) ) )
213	168, 196, 212	3brtr4d 4685	1 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( G ` n ) ` y ) ) <_ ( T ` n ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ^cexp 12860   abscabs 13974   picpi 14797   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  24760