stirlinglem4 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem4 40294

Description: Algebraic manipulation of

n ) - ( B

. It will be used in other theorems to show that

is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem4.1
stirlinglem4.2
stirlinglem4.3

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem4

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem stirlinglem4 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11027	. . . . . . . 8
2		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9
3	2	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8
4	1, 3	ge0p1rpd 11902	. . . . . . 7
5		nnrp 11842	. . . . . . 7
6	4, 5	rpdivcld 11889	. . . . . 6
7	6	rpsqrtcld 14150	. . . . 5
8		nnz 11399	. . . . . 6
9	6, 8	rpexpcld 13032	. . . . 5
10	7, 9	rpmulcld 11888	. . . 4
11		epr 14936	. . . . 5
12	11	a1i 11	. . . 4
13	10, 12	relogdivd 24372	. . 3
14	7, 9	relogmuld 24371	. . . . . 6
15		logsqrt 24450	. . . . . . . 8
16	6, 15	syl 17	. . . . . . 7
17		relogexp 24342	. . . . . . . 8 $/\$
18	6, 8, 17	syl2anc 693	. . . . . . 7
19	16, 18	oveq12d 6668	. . . . . 6
20	14, 19	eqtrd 2656	. . . . 5
21		peano2nn 11032	. . . . . . . . . 10
22	21	nncnd 11036	. . . . . . . . 9
23		nncn 11028	. . . . . . . . 9
24		nnne0 11053	. . . . . . . . 9
25	22, 23, 24	divcld 10801	. . . . . . . 8
26	21	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9
27	22, 23, 26, 24	divne0d 10817	. . . . . . . 8
28	25, 27	logcld 24317	. . . . . . 7
29		2cnd 11093	. . . . . . 7
30		2rp 11837	. . . . . . . . 9
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8
32	31	rpne0d 11877	. . . . . . 7
33	28, 29, 32	divrec2d 10805	. . . . . 6
34	33	oveq1d 6665	. . . . 5
35		1cnd 10056	. . . . . . . 8
36	35	halfcld 11277	. . . . . . 7
37	36, 23, 28	adddird 10065	. . . . . 6
38	23, 29, 32	divcan4d 10807	. . . . . . . . . 10
39	23, 29	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
41	38, 40	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
43	29, 23	mulcld 10060	. . . . . . . . 9
44	35, 43, 29, 32	divdird 10839	. . . . . . . 8
45	42, 44	eqtr4d 2659	. . . . . . 7
46	45	oveq1d 6665	. . . . . 6
47	37, 46	eqtr3d 2658	. . . . 5
48	20, 34, 47	3eqtrd 2660	. . . 4
49		loge 24333	. . . . 5
50	49	a1i 11	. . . 4
51	48, 50	oveq12d 6668	. . 3
52	13, 51	eqtrd 2656	. 2
53		stirlinglem4.1	. . . . . . 7
54	53	stirlinglem2 40292	. . . . . 6
55	54	relogcld 24369	. . . . 5
56		nfcv 2764	. . . . . 6
57		nfcv 2764	. . . . . . 7
58		nfmpt1 4747	. . . . . . . . 9
59	53, 58	nfcxfr 2762	. . . . . . . 8
60	59, 56	nffv 6198	. . . . . . 7
61	57, 60	nffv 6198	. . . . . 6
62		fveq2 6191	. . . . . . 7
63	62	fveq2d 6195	. . . . . 6
64		stirlinglem4.2	. . . . . 6
65	56, 61, 63, 64	fvmptf 6301	. . . . 5 $/\$
66	55, 65	mpdan 702	. . . 4
67		nfcv 2764	. . . . . . . 8
68		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10
69	59, 68	nffv 6198	. . . . . . . . 9
70	57, 69	nffv 6198	. . . . . . . 8
71		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
72	71	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
73	67, 70, 72	cbvmpt 4749	. . . . . . 7
74	64, 73	eqtri 2644	. . . . . 6
75	74	a1i 11	. . . . 5
76		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$
77	76	fveq2d 6195	. . . . . 6 $/\$
78	77	fveq2d 6195	. . . . 5 $/\$
79	53	stirlinglem2 40292	. . . . . . 7
80	21, 79	syl 17	. . . . . 6
81	80	relogcld 24369	. . . . 5
82	75, 78, 21, 81	fvmptd 6288	. . . 4
83	66, 82	oveq12d 6668	. . 3
84	54, 80	relogdivd 24372	. . 3
85		faccl 13070	. . . . . . . . 9
86		nnrp 11842	. . . . . . . . 9
87	2, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . 8
88	31, 5	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . 10
89	88	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . 9
90	5, 12	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10
91	90, 8	rpexpcld 13032	. . . . . . . . 9
92	89, 91	rpmulcld 11888	. . . . . . . 8
93	87, 92	rpdivcld 11889	. . . . . . 7
94	53	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
95		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
97	95	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
99	95	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
100	99, 95	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
101	98, 100	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
102	96, 101	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
103		simpl 473	. . . . . . . 8 $/\$
104	87	rpcnd 11874	. . . . . . . . . 10
105	104	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
106		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
107	103	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	106, 107	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109	108	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . 10 $/\$
110		ere 14819	. . . . . . . . . . . . . 14
111	110	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
113		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14
114		epos 14935	. . . . . . . . . . . . . 14
115	113, 114	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . 13
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
117	107, 112, 116	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 $/\$
118	103	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 $/\$
119	117, 118	expcld 13008	. . . . . . . . . 10 $/\$
120	109, 119	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$
121	89	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
123	103	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	107, 112, 123, 116	divne0d 10817	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
126	117, 124, 125	expne0d 13014	. . . . . . . . . 10 $/\$
127	109, 119, 122, 126	mulne0d 10679	. . . . . . . . 9 $/\$
128	105, 120, 127	divcld 10801	. . . . . . . 8 $/\$
129	94, 102, 103, 128	fvmptd 6288	. . . . . . 7 $/\$
130	93, 129	mpdan 702	. . . . . 6
131		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10
132		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10
133		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
134		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
135	134	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
136		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13
137		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
138	136, 137	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
139	135, 138	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
140	133, 139	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
141	131, 132, 140	cbvmpt 4749	. . . . . . . . 9
142	53, 141	eqtri 2644	. . . . . . . 8
143	142	a1i 11	. . . . . . 7
144	76	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 $/\$
145	76	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$
146	145	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$
147	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$
148	147, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$
149	146, 148	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 $/\$
150	144, 149	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$
151	21	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9
152		faccl 13070	. . . . . . . . 9
153		nnrp 11842	. . . . . . . . 9
154	151, 152, 153	3syl 18	. . . . . . . 8
155	31, 4	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . 10
156	155	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . 9
157	4, 12	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10
158	8	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10
159	157, 158	rpexpcld 13032	. . . . . . . . 9
160	156, 159	rpmulcld 11888	. . . . . . . 8
161	154, 160	rpdivcld 11889	. . . . . . 7
162	143, 150, 21, 161	fvmptd 6288	. . . . . 6
163	130, 162	oveq12d 6668	. . . . 5
164		facp1 13065	. . . . . . . . . 10
165	2, 164	syl 17	. . . . . . . . 9
166	165	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
167	160	rpcnd 11874	. . . . . . . . 9
168	160	rpne0d 11877	. . . . . . . . 9
169	104, 22, 167, 168	divassd 10836	. . . . . . . 8
170	166, 169	eqtrd 2656	. . . . . . 7
171	170	oveq2d 6666	. . . . . 6
172	92	rpcnd 11874	. . . . . . 7
173	22, 167, 168	divcld 10801	. . . . . . . 8
174	104, 173	mulcld 10060	. . . . . . 7
175	92	rpne0d 11877	. . . . . . 7
176	87	rpne0d 11877	. . . . . . . 8
177	22, 167, 26, 168	divne0d 10817	. . . . . . . 8
178	104, 173, 176, 177	mulne0d 10679	. . . . . . 7
179	104, 172, 174, 175, 178	divdiv32d 10826	. . . . . 6
180	104, 104, 173, 176, 177	divdiv1d 10832	. . . . . . . . 9
181	180	eqcomd 2628	. . . . . . . 8
182	181	oveq1d 6665	. . . . . . 7
183	104, 176	dividd 10799	. . . . . . . . 9
184	183	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
185	184	oveq1d 6665	. . . . . . 7
186	22, 167, 26, 168	recdivd 10818	. . . . . . . . 9
187	186	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
188	167, 22, 26	divcld 10801	. . . . . . . . . 10
189	89	rpcnd 11874	. . . . . . . . . 10
190	91	rpcnd 11874	. . . . . . . . . 10
191	91	rpne0d 11877	. . . . . . . . . 10
192	188, 189, 190, 121, 191	divdiv1d 10832	. . . . . . . . 9
193	167, 22, 189, 26, 121	divdiv32d 10826	. . . . . . . . . . 11
194	156	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14
195	159	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14
196	194, 195, 189, 121	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . 13
197	31	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
198	31	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
199	21	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
200	151	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
201	197, 198, 199, 200	sqrtmuld 14163	. . . . . . . . . . . . . . . 16
202	197, 198, 1, 3	sqrtmuld 14163	. . . . . . . . . . . . . . . 16
203	201, 202	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	29	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . . . . 16
205	22	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . . . . 16
206	23	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . . . . 16
207	31	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
208	207	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . 16
209	5	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
210	209	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . 16
211	204, 204, 205, 206, 208, 210	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . . . . . . 15
212	204, 208	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . 16
213	199, 200, 5	sqrtdivd 14162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
214	213	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16
215	212, 214	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15
216	203, 211, 215	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . 14
217	216	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
218	25	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . . . 15
219	218	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . 14
220	219	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
221	196, 217, 220	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12
222	221	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
223	193, 222	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
224	223	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
225	192, 224	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8
226	218, 195	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10
227	226, 22, 190, 26, 191	divdiv32d 10826	. . . . . . . . 9
228	218, 195, 190, 191	divassd 10836	. . . . . . . . . . 11
229	12	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14
230	12	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . 14
231	22, 229, 230, 151	expdivd 13022	. . . . . . . . . . . . 13
232	23, 229, 230, 2	expdivd 13022	. . . . . . . . . . . . 13
233	231, 232	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
234	233	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
235	22, 151	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . 14
236	229, 151	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . 14
237	23, 2	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . 14
238	229, 2	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . 14
239	229, 230, 158	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . 14
240	229, 230, 8	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . 14
241	23, 24, 8	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . 14
242	235, 236, 237, 238, 239, 240, 241	divdivdivd 10848	. . . . . . . . . . . . 13
243	235, 238	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . 14
244	243	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
245	238, 236, 235, 237, 239, 241	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . . . . . 14
246	229, 2	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
247	246	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
248	238, 238, 229, 240, 230	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . 16
249	238, 240	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
250	249	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
251	247, 248, 250	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . 15
252	251	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
253	245, 252	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13
254	242, 244, 253	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12
255	254	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
256	228, 234, 255	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10
257	256	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
258	235, 237, 241	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . 13
259	35, 229, 258, 230	div32d 10824	. . . . . . . . . . . 12
260	258, 229, 230	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . 13
261	260	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . 12
262	259, 261	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11
263	262	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
264	229, 230	reccld 10794	. . . . . . . . . . . 12
265	264, 258	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11
266	218, 265, 22, 26	div23d 10838	. . . . . . . . . 10
267	218, 22, 26	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11
268	267, 258, 229, 230	divassd 10836	. . . . . . . . . 10
269	263, 266, 268	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9
270	227, 257, 269	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8
271	187, 225, 270	3eqtrd 2660	. . . . . . 7
272	182, 185, 271	3eqtrd 2660	. . . . . 6
273	171, 179, 272	3eqtrd 2660	. . . . 5
274	218, 22, 258, 26	div32d 10824	. . . . . . 7
275	22, 2	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . 12
276	275	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
277	22, 2	expcld 13008	. . . . . . . . . . . 12
278	277, 22, 26	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . 11
279	276, 278	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
280	279	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
281	235, 237, 22, 241, 26	divdiv32d 10826	. . . . . . . . 9
282	22, 23, 24, 2	expdivd 13022	. . . . . . . . 9
283	280, 281, 282	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8
284	283	oveq2d 6666	. . . . . . 7
285	274, 284	eqtrd 2656	. . . . . 6
286	285	oveq1d 6665	. . . . 5
287	163, 273, 286	3eqtrd 2660	. . . 4
288	287	fveq2d 6195	. . 3
289	83, 84, 288	3eqtr2d 2662	. 2
290	35, 43	addcld 10059	. . . . . 6
291	290	halfcld 11277	. . . . 5
292	291, 28	mulcld 10060	. . . 4
293	292, 35	subcld 10392	. . 3
294		stirlinglem4.3	. . . . 5
295	294	a1i 11	. . . 4 $/\$
296		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
297	296	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
298	297	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
299	298	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$ $/\$
300	296	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
301	300, 296	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
302	301	fveq2d 6195	. . . . . 6 $/\$ $/\$
303	299, 302	oveq12d 6668	. . . . 5 $/\$ $/\$
304	303	oveq1d 6665	. . . 4 $/\$ $/\$
305		simpl 473	. . . 4 $/\$
306		simpr 477	. . . 4 $/\$
307	295, 304, 305, 306	fvmptd 6288	. . 3 $/\$
308	293, 307	mpdan 702	. 2
309	52, 289, 308	3eqtr4d 2666	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

crp 11832

cexp 12860

cfa 13060

csqrt 13973

ceu 14793

clog 24301

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-e 14799 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304

This theorem is referenced by: stirlinglem9 40299

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