Theorem dchrisum0lem1b 25204

Description: Lemma for dchrisum0lem1 25205. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem1b	|- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) e. Fin )
2		ssun2 3777	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
3		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
4	3	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
5		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
7		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
10		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11	9, 10	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
12		dchrisum0lem1a 25175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) )
13	12	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) )
14		fzsplit2 12366	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
15	11, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
16	2, 15	syl5sseqr 3654	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
17	16	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
18		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
19		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
20		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
21		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
22		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
23		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
24	22, 23	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- W C_ ( D \ { .1. } )
25		dchrisum0.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. W )
26	24, 25	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
27	26	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
28	27	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> X e. D )
29		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. ZZ )
30	29	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
31	18, 19, 20, 21, 28, 30	dchrzrhcl 24970	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
32		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. NN )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. NN )
34	33	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
35	34	rpsqrtcld 14150	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
36	35	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
37	35	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
38	31, 36, 37	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
39	17, 38	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
40	1, 39	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
41	40	abscld 14175	. 2 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. RR )
42		1zzd 11408	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
43	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X e. D )
44		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
46	18, 19, 20, 21, 43, 45	dchrzrhcl 24970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
47		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
49	48	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
50	49	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
51	49	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
52	46, 50, 51	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
53		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
54		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = m -> ( sqr ` a ) = ( sqr ` m ) )
57	55, 56	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
58	57	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
59	53, 58	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- F = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
60	52, 59	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> CC )
61	60	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
62	10, 42, 61	serf 12829	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
63	62	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
64	3	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
66	65	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
67		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
68		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
70	69	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR )
71	69	nnge1d 11063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ d )
72	3	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
73		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
75	74	simplbda 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d <_ x )
76	67, 70, 66, 71, 75	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ x )
77		flge1nn 12622	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
78	66, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
79		eluznn 11758	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` x ) e. NN /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. NN )
80	78, 13, 79	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. NN )
81	63, 80	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) e. CC )
82		dchrisum0.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
83		climcl 14230	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( + , F ) ~~> S -> S e. CC )
84	82, 83	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CC )
85	84	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> S e. CC )
86	81, 85	subcld 10392	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) e. CC )
87	86	abscld 14175	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) ) e. RR )
88	63, 78	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) e. CC )
89	85, 88	subcld 10392	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) e. CC )
90	89	abscld 14175	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( S - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ) e. RR )
91	87, 90	readdcld 10069	. 2 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) ) + ( abs ` ( S - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ) ) e. RR )
92		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
93		dchrisum0.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
94		elrege0 12278	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
95	93, 94	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
96	95	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
97		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ C e. RR ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
98	92, 96, 97	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. RR )
99	98	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
100	3	rpsqrtcld 14150	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
101	99, 100	rerpdivcld 11903	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
102	101	adantr 481	. 2 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
103		ssun1 3776	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
104	103, 15	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
105	104	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
106		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) e. _V
107	57, 53, 106	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
108	33, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
109	105, 108	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
110	78, 10	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
111	105, 38	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
112	109, 110, 111	fsumser 14461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
113	112, 88	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
114	113, 40	pncan2d 10394	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
115		reflcl 12597	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
116	66, 115	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
117	116	ltp1d 10954	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` x ) < ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
118		fzdisj 12368	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` x ) < ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) = (/) )
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) = (/) )
120		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) e. Fin )
121	119, 15, 120, 38	fsumsplit 14471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
122	80, 10	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
123	108, 122, 38	fsumser 14461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
124	121, 123	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
125	124, 112	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
126	114, 125	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
127	126	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ) )
128	81, 88, 85	abs3difd 14199	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) ) + ( abs ` ( S - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ) ) )
129	127, 128	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) ) + ( abs ` ( S - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ) ) )
130	96	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. RR )
131		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
132	131	rpsqrtcld 14150	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
133	130, 132	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( sqr ` x ) ) e. RR )
134		2z 11409	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
135		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
136	3, 134, 135	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
137	136	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
138	69	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
139	137, 138	rpdivcld 11889	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR+ )
140	139	rpsqrtcld 14150	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. RR+ )
141	130, 140	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) e. RR )
142	136	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
143		nndivre 11056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
144	142, 68, 143	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
145	12	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) )
146	67, 66, 144, 76, 145	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) )
147		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
148		elicopnf 12269	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR -> ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ 1 <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
149	147, 148	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ 1 <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
150	144, 146, 149	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. ( 1 [,) +oo ) )
151		dchrisum0.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
152	151	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
153		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / d ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
154	153	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / d ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
155	154	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / d ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) )
156	155	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / d ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) ) )
157		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / d ) -> ( sqr ` y ) = ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
158	157	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / d ) -> ( C / ( sqr ` y ) ) = ( C / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
159	156, 158	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / d ) -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
160	159	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
161	150, 152, 160	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
162	132	rpregt0d 11878	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` x ) e. RR /\ 0 < ( sqr ` x ) ) )
163	140	rpregt0d 11878	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. RR /\ 0 < ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
164	95	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
165	131	rprege0d 11879	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
166	139	rprege0d 11879	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ 0 <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
167		sqrtle 14001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ 0 <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> ( x <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
168	165, 166, 167	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
169	145, 168	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
170		lediv2a 10917	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( sqr ` x ) e. RR /\ 0 < ( sqr ` x ) ) /\ ( ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. RR /\ 0 < ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> ( C / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <_ ( C / ( sqr ` x ) ) )
171	162, 163, 164, 169, 170	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <_ ( C / ( sqr ` x ) ) )
172	87, 141, 133, 161, 171	letrd 10194	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` x ) ) )
173	85, 88	abssubd 14192	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( S - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - S ) ) )
174		elicopnf 12269	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
175	147, 174	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
176	66, 76, 175	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. ( 1 [,) +oo ) )
177		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` x ) )
178	177	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
179	178	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - S ) )
180	179	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - S ) ) )
181		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( sqr ` y ) = ( sqr ` x ) )
182	181	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( C / ( sqr ` y ) ) = ( C / ( sqr ` x ) ) )
183	180, 182	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` x ) ) ) )
184	183	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` x ) ) ) )
185	176, 152, 184	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` x ) ) )
186	173, 185	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( S - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ) <_ ( C / ( sqr ` x ) ) )
187	87, 90, 133, 133, 172, 186	le2addd 10646	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) ) + ( abs ` ( S - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ) ) <_ ( ( C / ( sqr ` x ) ) + ( C / ( sqr ` x ) ) ) )
188		2cnd 11093	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
189	96	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> C e. RR )
190	189	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> C e. CC )
191	190	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. CC )
192	100	rpcnne0d 11881	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) e. CC /\ ( sqr ` x ) =/= 0 ) )
193	192	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` x ) e. CC /\ ( sqr ` x ) =/= 0 ) )
194		divass 10703	. . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ C e. CC /\ ( ( sqr ` x ) e. CC /\ ( sqr ` x ) =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) = ( 2 x. ( C / ( sqr ` x ) ) ) )
195	188, 191, 193, 194	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) = ( 2 x. ( C / ( sqr ` x ) ) ) )
196	133	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( sqr ` x ) ) e. CC )
197	196	2timesd 11275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( C / ( sqr ` x ) ) ) = ( ( C / ( sqr ` x ) ) + ( C / ( sqr ` x ) ) ) )
198	195, 197	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) = ( ( C / ( sqr ` x ) ) + ( C / ( sqr ` x ) ) ) )
199	187, 198	breqtrrd 4681	. 2 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) - S ) ) + ( abs ` ( S - ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ) ) <_ ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) )
200	41, 91, 102, 129, 199	letrd 10194	1 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem1  25205