Theorem dchrisum0lem1 25205

Description: Lemma for dchrisum0 25209. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem1	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) e. Fin )
3		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) e. Fin )
4		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
5		elfzuz 12338	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
6	4, 5	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
8		elfzuz 12338	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
9		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. NN )
10	8, 9	anim12ci 591	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
12		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> m e. ZZ )
13	12	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. ZZ )
14	13	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. RR )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
16		2z 11409	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
17		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
18	15, 16, 17	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
19	18	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
21		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. NN )
22	21	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR+ )
23	14, 20, 22	lemuldivd 11921	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m x. d ) <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
24	21	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
25	15	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
26		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
27		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
30		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
31		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
32	29, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. NN )
33	32	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. RR+ )
34	24, 20, 33	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m x. d ) <_ ( x ^ 2 ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
35	23, 34	bitr3d 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
36		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
38	37	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) = ( x x. x ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) = ( x x. x ) )
40		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x e. RR+ )
41	40	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
42		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
43		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( |_ ` x ) e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
45		fllep1 12602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
46	41, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
47		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ m )
48	47	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ m )
49	41, 44, 14, 46, 48	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x <_ m )
50	41, 14, 40	lemul1d 11915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x <_ m <-> ( x x. x ) <_ ( m x. x ) ) )
51	49, 50	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x x. x ) <_ ( m x. x ) )
52	39, 51	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( m x. x ) )
53	20, 41, 33	ledivmuld 11925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x <-> ( x ^ 2 ) <_ ( m x. x ) ) )
54	52, 53	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x )
55		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN -> d e. RR )
56	55	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
57	20, 32	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR )
58		letr 10131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x ) -> d <_ x ) )
59	56, 57, 41, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x ) -> d <_ x ) )
60	54, 59	mpan2d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) -> d <_ x ) )
61	35, 60	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) -> d <_ x ) )
62	61	pm4.71rd 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
63		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> 1 <_ d )
64	63	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> 1 <_ d )
65		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
66		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
67	65, 66	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 )
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
69	22	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. RR /\ 0 < d ) )
70	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
71	70	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( x ^ 2 ) ) )
72		lediv2 10913	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( d e. RR /\ 0 < d ) /\ ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( x ^ 2 ) ) ) -> ( 1 <_ d <-> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) ) )
73	68, 69, 71, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( 1 <_ d <-> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) ) )
74	64, 73	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) )
75	20	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
76	75	div1d 10793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / 1 ) = ( x ^ 2 ) )
77	74, 76	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) )
78		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> d e. NN )
79		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
80	19, 78, 79	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
81		letr 10131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
82	14, 80, 20, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
83	77, 82	mpan2d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
84	35, 83	sylbird 250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
85	84	pm4.71rd 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
86	35, 62, 85	3bitr3d 298	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
87		fznnfl 12661	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
88	87	baibd 948	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> d <_ x ) )
89	41, 21, 88	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> d <_ x ) )
90	80	flcld 12599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ZZ )
91		elfz5 12334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
92	30, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
93		flge 12606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
94	80, 13, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
95	92, 94	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
96	89, 95	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
97	20	flcld 12599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ZZ )
98		elfz5 12334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) /\ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
99	30, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
100		flge 12606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
101	20, 13, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
102	99, 101	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
103		fznnfl 12661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
104	103	baibd 948	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
105	57, 21, 104	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
106	102, 105	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
107	86, 96, 106	3bitr4d 300	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
108	107	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) ) )
109	7, 11, 108	pm5.21ndd 369	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
110		ssun2 3777	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
111	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
112		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
113	111, 112	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
114		dchrisum0lem1a 25175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) )
115	114	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) )
116		fzsplit2 12366	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
117	113, 115, 116	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
118	110, 117	syl5sseqr 3654	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
119	118	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
120		rpvmasum2.g	. . . . . . . . 9 |- G = (DChr ` N )
121		rpvmasum.z	. . . . . . . . 9 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
122		rpvmasum2.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( Base ` G )
123		rpvmasum.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ZRHom ` Z )
124		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
125		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
126	124, 125	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . 12 |- W C_ ( D \ { .1. } )
127		dchrisum0.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. W )
128	126, 127	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
129	128	eldifad 3586	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. D )
130	129	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> X e. D )
131		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. ZZ )
132	131	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
133	120, 121, 122, 123, 130, 132	dchrzrhcl 24970	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
134		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. NN )
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. NN )
136	135	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
137	136	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
138	137	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
139	137	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
140	133, 138, 139	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
141	4	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
142	141	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
143	142	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. RR+ )
144	143	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
145	144	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
146	145	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
147	145	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
148	140, 146, 147	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
149	119, 148	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
150	149	anasss 679	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
151	1, 2, 3, 109, 150	fsumcom2 14505	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
152	151	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
153	65	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. RR )
154		2cn 11091	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
155	15	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
156	155	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
157		mulcl 10020	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( sqr ` x ) e. CC ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC )
158	154, 156, 157	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC )
159	143	rprecred 11883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. RR )
160	1, 159	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. RR )
161	160	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
162	161, 158	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
163		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
164		dchrisum0.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
165		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
166	164, 165	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
167	166	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
168		remulcl 10021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ C e. RR ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
169	163, 167, 168	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. RR )
170	169	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
171	170, 155	rerpdivcld 11903	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
172	171	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. CC )
173	158, 162, 172	adddird 10065	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
174	158, 161	pncan3d 10395	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) )
175	174	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
176		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
177	176, 156, 172	mulassd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
178	170	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
179	155	rpne0d 11877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) =/= 0 )
180	178, 156, 179	divcan2d 10803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. C ) )
181	180	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( 2 x. ( 2 x. C ) ) )
182	177, 181	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( 2 x. C ) ) )
183	182	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
184	173, 175, 183	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
185	184	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
186		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 2 x. C ) e. RR ) -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. RR )
187	163, 169, 186	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. RR )
188	187	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC )
189	188	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC )
190	162, 172	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
191		rpssre 11843	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
192		o1const 14350	. . . . . 6 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) ) e. O(1) )
193	191, 188, 192	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) ) e. O(1) )
194		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
195	194	divsqrsum 24708	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. dom ~~> r
196		rlimdmo1 14348	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. dom ~~> r -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
197	195, 196	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
198	178, 156, 179	divrecd 10804	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) = ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
199	198	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ) )
200	155	rprecred 11883	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) e. RR )
201	169	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. CC )
202		rlimconst 14275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( 2 x. C ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. C ) ) ~~> r ( 2 x. C ) )
203	191, 201, 202	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. C ) ) ~~> r ( 2 x. C ) )
204		sqrtlim 24699	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0
205	204	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0 )
206	170, 200, 203, 205	rlimmul 14375	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) )
207	199, 206	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) )
208		rlimo1 14347	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
209	207, 208	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
210	162, 172, 197, 209	o1mul2 14355	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
211	189, 190, 193, 210	o1add2 14354	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
212	185, 211	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
213	160, 171	remulcld 10070	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. RR )
214	3, 149	fsumcl 14464	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
215	1, 214	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
216	215	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
217	213	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
218	217	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. RR )
219	214	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
220	1, 219	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
221	1, 214	fsumabs 14533	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
222	171	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
223	159, 222	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. RR )
224	119, 140	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
225	3, 224	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
226	225	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. RR )
227		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
228		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . 11 |- .1. = ( 0g ` G )
229		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
230		dchrisum0.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
231		dchrisum0.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
232	121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231	dchrisum0lem1b 25204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) )
233	226, 222, 143, 232	lediv1dd 11930	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) <_ ( ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) / ( sqr ` d ) ) )
234	143	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
235	143	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
236	225, 234, 235	absdivd 14194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` d ) ) ) )
237	3, 234, 224, 235	fsumdivc 14518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
238	237	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
239	143	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` d ) ) )
240		absid 14036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sqr ` d ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` d ) ) -> ( abs ` ( sqr ` d ) ) = ( sqr ` d ) )
241	239, 240	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sqr ` d ) ) = ( sqr ` d ) )
242	241	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` d ) ) ) = ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) )
243	236, 238, 242	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
244	172	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. CC )
245	244, 234, 235	divrec2d 10805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
246	233, 243, 245	3brtr3d 4684	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
247	1, 219, 223, 246	fsumle 14531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
248	159	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
249	1, 172, 248	fsummulc1 14517	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
250	247, 249	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
251	216, 220, 213, 221, 250	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
252	213	leabsd 14153	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
253	216, 213, 218, 251, 252	letrd 10194	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
254	253	adantrr 753	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
255	153, 212, 213, 215, 254	o1le 14383	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )
256	152, 255	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  25208