Theorem pntlemj 25292

Description: Lemma for pnt 25303. The induction step. Using pntibnd 25282, we find an interval in K ^ J ... K ^ ( J + 1 ) which is sufficiently large and has a much smaller value, R ( z ) / z <_ E (instead of our original bound R ( z ) / z <_ U). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem1.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d	|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u	|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2	|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e	|- E = ( U / D )
pntlem1.k	|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y	|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x	|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w	|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z	|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
pntlem1.m	|- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
pntlem1.n	|- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
pntlem1.U	|- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
pntlem1.K	|- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
pntlem1.o	|- O = ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ J ) ) ) )
pntlem1.v	|- ( ph -> V e. RR+ )
pntlem1.V	|- ( ph -> ( ( ( K ^ J ) < V /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) < ( K x. ( K ^ J ) ) ) /\ A. u e. ( V [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
pntlem1.j	|- ( ph -> J e. ( M..^ N ) )
pntlem1.i	|- I = ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pntlemj	|- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) <_ sum_ n e. O ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )

Distinct variable groups:   z, C   n, I   y, n, z, J   u, n, L, y, z   n, K, y, z   n, M, z   n, O, z   ph, n   n, N, z   R, n, u, y, z   n, V, u   U, n, z   n, W, z   n, X, y, z   n, Y, z   n, a, u, y, z, E   n, Z, u, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, a)   A( y, z, u, n, a)   B( y, z, u, n, a)   C( y, u, n, a)   D( y, z, u, n, a)   R( a)   U( y, u, a)   F( y, z, u, n, a)   I( y, z, u, a)   J( u, a)   K( u, a)   L( a)   M( y, u, a)   N( y, u, a)   O( y, u, a)   V( y, z, a)   W( y, u, a)   X( u, a)   Y( y, u, a)   Z( y, a)

Proof of Theorem pntlemj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . . . . . 7 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
2		pntlem1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR+ )
3		pntlem1.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR+ )
4		pntlem1.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
5		pntlem1.d	. . . . . . 7 |- D = ( A + 1 )
6		pntlem1.f	. . . . . . 7 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
7		pntlem1.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. RR+ )
8		pntlem1.u2	. . . . . . 7 |- ( ph -> U <_ A )
9		pntlem1.e	. . . . . . 7 |- E = ( U / D )
10		pntlem1.k	. . . . . . 7 |- K = ( exp ` ( B / E ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pntlemc 25284	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E e. RR+ /\ K e. RR+ /\ ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) ) )
12	11	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ph -> ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) )
13	12	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR+ )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	pntlemd 25283	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L e. RR+ /\ D e. RR+ /\ F e. RR+ ) )
15	14	simp1d 1073	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. RR+ )
16	11	simp1d 1073	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
17	15, 16	rpmulcld 11888	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L x. E ) e. RR+ )
18		8nn 11191	. . . . . . 7 |- 8 e. NN
19		nnrp 11842	. . . . . . 7 |- ( 8 e. NN -> 8 e. RR+ )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 8 e. RR+
21		rpdivcl 11856	. . . . . 6 |- ( ( ( L x. E ) e. RR+ /\ 8 e. RR+ ) -> ( ( L x. E ) / 8 ) e. RR+ )
22	17, 20, 21	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 8 ) e. RR+ )
23		pntlem1.y	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
24		pntlem1.x	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
25		pntlem1.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR+ )
26		pntlem1.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
27		pntlem1.z	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27	pntlemb 25286	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
29	28	simp1d 1073	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. RR+ )
30	29	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. RR )
31	28	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) )
32	31	simp1d 1073	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 < Z )
33	30, 32	rplogcld 24375	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR+ )
34	22, 33	rpmulcld 11888	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) e. RR+ )
35	13, 34	rpmulcld 11888	. . 3 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR+ )
36	35	rpred 11872	. 2 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
37		pntlem1.i	. . . . . 6 |- I = ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) )
38		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) ) e. Fin )
39	37, 38	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
40		hashcl 13147	. . . . 5 |- ( I e. Fin -> ( # ` I ) e. NN0 )
41	39, 40	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` I ) e. NN0 )
42	41	nn0red 11352	. . 3 |- ( ph -> ( # ` I ) e. RR )
43	13	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR )
44		pntlem1.v	. . . . . . 7 |- ( ph -> V e. RR+ )
45	29, 44	rpdivcld 11889	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Z / V ) e. RR+ )
46	45	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( Z / V ) ) e. RR )
47	46, 45	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) e. RR )
48	43, 47	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) e. RR )
49	42, 48	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` I ) x. ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) e. RR )
50		pntlem1.o	. . . 4 |- O = ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ J ) ) ) )
51		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ J ) ) ) ) e. Fin )
52	50, 51	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> O e. Fin )
53	7	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. RR )
54	53	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> U e. RR )
55	11	simp2d 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. RR+ )
56		pntlem1.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. ( M..^ N ) )
57		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( M..^ N ) -> J e. ZZ )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. ZZ )
59	58	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ZZ )
60	55, 59	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K ^ ( J + 1 ) ) e. RR+ )
61	29, 60	rpdivcld 11889	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) e. RR+ )
62	61	rprege0d 11879	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) )
63		flge0nn0 12621	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) e. NN0 )
64		nn0p1nn 11332	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) e. NN )
65	62, 63, 64	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) e. NN )
66		elfzuz 12338	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ J ) ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )
67	66, 50	eleq2s 2719	. . . . . . 7 |- ( n e. O -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )
68		eluznn 11758	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
69	65, 67, 68	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> n e. NN )
70	54, 69	nndivred 11069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( U / n ) e. RR )
71	29	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> Z e. RR+ )
72	69	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> n e. RR+ )
73	71, 72	rpdivcld 11889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( Z / n ) e. RR+ )
74	1	pntrf 25252	. . . . . . . . . 10 |- R : RR+ --> RR
75	74	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z / n ) e. RR+ -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
77	76, 71	rerpdivcld 11903	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. RR )
78	77	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. CC )
79	78	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) e. RR )
80	70, 79	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) e. RR )
81	72	relogcld 24369	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( log ` n ) e. RR )
82	80, 81	remulcld 10070	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
83	52, 82	fsumrecl 14465	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. O ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
84		pntlem1.m	. . 3 |- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
85		pntlem1.n	. . 3 |- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
86		pntlem1.U	. . 3 |- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
87		pntlem1.K	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
88		pntlem1.V	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( K ^ J ) < V /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) < ( K x. ( K ^ J ) ) ) /\ A. u e. ( V [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
89	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37	pntlemr 25291	. 2 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) <_ ( ( # ` I ) x. ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) )
90	48	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) e. CC )
91		fsumconst 14522	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) e. CC ) -> sum_ n e. I ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) = ( ( # ` I ) x. ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) )
92	39, 90, 91	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. I ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) = ( ( # ` I ) x. ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) )
93	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37	pntlemq 25290	. . . . 5 |- ( ph -> I C_ O )
94	90	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. I ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) e. CC )
95	52	olcd 408	. . . . 5 |- ( ph -> ( O C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ O e. Fin ) )
96		sumss2 14457	. . . . 5 |- ( ( ( I C_ O /\ A. n e. I ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) e. CC ) /\ ( O C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ O e. Fin ) ) -> sum_ n e. I ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) = sum_ n e. O if ( n e. I , ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) , 0 ) )
97	93, 94, 95, 96	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. I ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) = sum_ n e. O if ( n e. I , ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) , 0 ) )
98	92, 97	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` I ) x. ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) = sum_ n e. O if ( n e. I , ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) , 0 ) )
99	48	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) e. RR )
100	99	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. O ) /\ n e. I ) -> ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) e. RR )
101		0red 10041	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. O ) /\ -. n e. I ) -> 0 e. RR )
102	100, 101	ifclda 4120	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> if ( n e. I , ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) , 0 ) e. RR )
103		breq1 4656	. . . . 5 |- ( ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) = if ( n e. I , ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) , 0 ) -> ( ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> if ( n e. I , ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) , 0 ) <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
104		breq1 4656	. . . . 5 |- ( 0 = if ( n e. I , ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) , 0 ) -> ( 0 <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> if ( n e. I , ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) , 0 ) <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
105	13	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( U - E ) e. RR /\ 0 < ( U - E ) ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( U - E ) e. RR /\ 0 < ( U - E ) ) )
107	106	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( U - E ) e. RR )
108		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR+
109		rpaddcl 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( L x. E ) e. RR+ ) -> ( 1 + ( L x. E ) ) e. RR+ )
110	108, 17, 109	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 + ( L x. E ) ) e. RR+ )
111	110, 44	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) e. RR+ )
112	29, 111	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR+ )
113	112	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) )
114		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) -> ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) e. NN0 )
115		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) e. NN )
116	113, 114, 115	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) e. NN )
117		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ) )
118	117, 37	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. I -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ) )
119		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
120	116, 118, 119	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> n e. NN )
121	120	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> n e. RR+ )
122	121	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( log ` n ) e. RR )
123	122, 120	nndivred 11069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( log ` n ) / n ) e. RR )
124	107, 123	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( U - E ) x. ( ( log ` n ) / n ) ) e. RR )
125	93	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> n e. O )
126	125, 82	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
127		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> n e. I )
128	127, 37	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) ) )
129		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) ) -> n <_ ( |_ ` ( Z / V ) ) )
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> n <_ ( |_ ` ( Z / V ) ) )
131	45	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Z / V ) e. RR )
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( Z / V ) e. RR )
133		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) ) -> n e. ZZ )
134	128, 133	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> n e. ZZ )
135		flge 12606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Z / V ) e. RR /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ ( Z / V ) <-> n <_ ( |_ ` ( Z / V ) ) ) )
136	132, 134, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( n <_ ( Z / V ) <-> n <_ ( |_ ` ( Z / V ) ) ) )
137	130, 136	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> n <_ ( Z / V ) )
138	120	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> n e. RR )
139		ere 14819	. . . . . . . . . . . 12 |- _e e. RR
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> _e e. RR )
141	112	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR )
142	141	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR )
143	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> _e e. RR )
144	29	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR+ )
145	144	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR )
146	31	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> _e <_ ( sqr ` Z ) )
147	111	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) e. RR )
148	60	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K ^ ( J + 1 ) ) e. RR )
149	88	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( K ^ J ) < V /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) < ( K x. ( K ^ J ) ) ) )
150	149	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) < ( K x. ( K ^ J ) ) )
151	55	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> K e. CC )
152	55, 58	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( K ^ J ) e. RR+ )
153	152	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( K ^ J ) e. CC )
154	151, 153	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( K x. ( K ^ J ) ) = ( ( K ^ J ) x. K ) )
155	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemg 25287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) <_ ( N - M ) ) )
156	155	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> M e. NN )
157		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( J e. ( M..^ N ) -> J e. ( ZZ>= ` M ) )
158	56, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` M ) )
159		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. NN /\ J e. ( ZZ>= ` M ) ) -> J e. NN )
160	156, 158, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> J e. NN )
161	160	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. NN0 )
162	151, 161	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( K ^ ( J + 1 ) ) = ( ( K ^ J ) x. K ) )
163	154, 162	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( K x. ( K ^ J ) ) = ( K ^ ( J + 1 ) ) )
164	150, 163	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) < ( K ^ ( J + 1 ) ) )
165	147, 148, 164	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) <_ ( K ^ ( J + 1 ) ) )
166		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( J e. ( M..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( M ... N ) )
167	56, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( M ... N ) )
168	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemh 25288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( J + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( X < ( K ^ ( J + 1 ) ) /\ ( K ^ ( J + 1 ) ) <_ ( sqr ` Z ) ) )
169	167, 168	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X < ( K ^ ( J + 1 ) ) /\ ( K ^ ( J + 1 ) ) <_ ( sqr ` Z ) ) )
170	169	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K ^ ( J + 1 ) ) <_ ( sqr ` Z ) )
171	147, 148, 145, 165, 170	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) <_ ( sqr ` Z ) )
172	147, 145, 144	lemul2d 11916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) <_ ( sqr ` Z ) <-> ( ( sqr ` Z ) x. ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) ) )
173	171, 172	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) )
174	29	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) )
175		remsqsqrt 13997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
177	173, 176	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ Z )
178	145, 30, 111	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` Z ) x. ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ Z <-> ( sqr ` Z ) <_ ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) )
179	177, 178	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) <_ ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) )
180	143, 145, 141, 146, 179	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> _e <_ ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) )
181	180	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> _e <_ ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) )
182		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR -> ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) e. RR )
183		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) e. RR )
184	141, 182, 183	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) e. RR )
185	184	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) e. RR )
186		fllep1 12602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) )
187	142, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) )
188		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) ) -> ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) <_ n )
189	128, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) <_ n )
190	142, 185, 138, 187, 189	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ n )
191	140, 142, 138, 181, 190	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> _e <_ n )
192	140, 138, 132, 191, 137	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> _e <_ ( Z / V ) )
193		logdivle 24368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. RR /\ _e <_ n ) /\ ( ( Z / V ) e. RR /\ _e <_ ( Z / V ) ) ) -> ( n <_ ( Z / V ) <-> ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) <_ ( ( log ` n ) / n ) ) )
194	138, 191, 132, 192, 193	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( n <_ ( Z / V ) <-> ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) <_ ( ( log ` n ) / n ) ) )
195	137, 194	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) <_ ( ( log ` n ) / n ) )
196	47	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) e. RR )
197		lemul2 10876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) e. RR /\ ( ( log ` n ) / n ) e. RR /\ ( ( U - E ) e. RR /\ 0 < ( U - E ) ) ) -> ( ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) <_ ( ( log ` n ) / n ) <-> ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) <_ ( ( U - E ) x. ( ( log ` n ) / n ) ) ) )
198	196, 123, 106, 197	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) <_ ( ( log ` n ) / n ) <-> ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) <_ ( ( U - E ) x. ( ( log ` n ) / n ) ) ) )
199	195, 198	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) <_ ( ( U - E ) x. ( ( log ` n ) / n ) ) )
200	13	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U - E ) e. CC )
201	200	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( U - E ) e. CC )
202	122	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( log ` n ) e. CC )
203	121	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
204		div23 10704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U - E ) e. CC /\ ( log ` n ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( log ` n ) ) / n ) = ( ( ( U - E ) / n ) x. ( log ` n ) ) )
205	201, 202, 203, 204	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( ( U - E ) x. ( log ` n ) ) / n ) = ( ( ( U - E ) / n ) x. ( log ` n ) ) )
206		divass 10703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U - E ) e. CC /\ ( log ` n ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( log ` n ) ) / n ) = ( ( U - E ) x. ( ( log ` n ) / n ) ) )
207	201, 202, 203, 206	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( ( U - E ) x. ( log ` n ) ) / n ) = ( ( U - E ) x. ( ( log ` n ) / n ) ) )
208	205, 207	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( ( U - E ) / n ) x. ( log ` n ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( log ` n ) / n ) ) )
209	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( U - E ) e. RR )
210	209, 120	nndivred 11069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( U - E ) / n ) e. RR )
211	125, 80	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) e. RR )
212		log1 24332	. . . . . . . . . 10 |- ( log ` 1 ) = 0
213	120	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> 1 <_ n )
214		logleb 24349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> ( 1 <_ n <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` n ) ) )
215	108, 121, 214	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( 1 <_ n <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` n ) ) )
216	213, 215	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` n ) )
217	212, 216	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> 0 <_ ( log ` n ) )
218	7	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. CC )
219	218	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> U e. CC )
220	16	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E e. RR )
221	220	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> E e. RR )
222	221	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> E e. CC )
223		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. CC /\ E e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( U - E ) / n ) = ( ( U / n ) - ( E / n ) ) )
224	219, 222, 203, 223	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( U - E ) / n ) = ( ( U / n ) - ( E / n ) ) )
225	125, 79	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) e. RR )
226	221, 120	nndivred 11069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( E / n ) e. RR )
227	125, 70	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( U / n ) e. RR )
228	125, 76	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
229	228	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. CC )
230	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> Z e. RR+ )
231	230	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) )
232		divdiv2 10737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R ` ( Z / n ) ) e. CC /\ ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / ( Z / n ) ) = ( ( ( R ` ( Z / n ) ) x. n ) / Z ) )
233	229, 231, 203, 232	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / ( Z / n ) ) = ( ( ( R ` ( Z / n ) ) x. n ) / Z ) )
234	121	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> n e. CC )
235		div23 10704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R ` ( Z / n ) ) e. CC /\ n e. CC /\ ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) ) -> ( ( ( R ` ( Z / n ) ) x. n ) / Z ) = ( ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) x. n ) )
236	229, 234, 231, 235	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( ( R ` ( Z / n ) ) x. n ) / Z ) = ( ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) x. n ) )
237	233, 236	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / ( Z / n ) ) = ( ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) x. n ) )
238	237	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / ( Z / n ) ) ) = ( abs ` ( ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) x. n ) ) )
239	125, 78	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. CC )
240	239, 234	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( abs ` ( ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) x. n ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( abs ` n ) ) )
241	121	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( n e. RR /\ 0 <_ n ) )
242		absid 14036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. RR /\ 0 <_ n ) -> ( abs ` n ) = n )
243	241, 242	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( abs ` n ) = n )
244	243	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( abs ` n ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. n ) )
245	238, 240, 244	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / ( Z / n ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. n ) )
246	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> Z e. RR )
247	246, 120	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( Z / n ) e. RR )
248	44	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( V e. RR /\ 0 < V ) )
249	248	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( V e. RR /\ 0 < V ) )
250		lemuldiv2 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. RR /\ Z e. RR /\ ( V e. RR /\ 0 < V ) ) -> ( ( V x. n ) <_ Z <-> n <_ ( Z / V ) ) )
251	138, 246, 249, 250	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( V x. n ) <_ Z <-> n <_ ( Z / V ) ) )
252	137, 251	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( V x. n ) <_ Z )
253	249	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> V e. RR )
254	253, 246, 121	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( V x. n ) <_ Z <-> V <_ ( Z / n ) ) )
255	252, 254	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> V <_ ( Z / n ) )
256	111	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) e. RR /\ 0 < ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) )
257	256	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) e. RR /\ 0 < ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) )
258	121	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( n e. RR /\ 0 < n ) )
259		lediv23 10915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Z e. RR /\ ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) e. RR /\ 0 < ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> ( ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ n <-> ( Z / n ) <_ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) )
260	246, 257, 258, 259	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ n <-> ( Z / n ) <_ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) )
261	190, 260	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( Z / n ) <_ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) )
262	44	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> V e. RR )
263	262	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> V e. RR )
264	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) e. RR )
265		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. RR /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) e. RR ) -> ( ( Z / n ) e. ( V [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <-> ( ( Z / n ) e. RR /\ V <_ ( Z / n ) /\ ( Z / n ) <_ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) )
266	263, 264, 265	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( Z / n ) e. ( V [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <-> ( ( Z / n ) e. RR /\ V <_ ( Z / n ) /\ ( Z / n ) <_ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) )
267	247, 255, 261, 266	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( Z / n ) e. ( V [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) )
268	88	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. u e. ( V [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E )
269	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> A. u e. ( V [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E )
270		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = ( Z / n ) -> ( R ` u ) = ( R ` ( Z / n ) ) )
271		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = ( Z / n ) -> u = ( Z / n ) )
272	270, 271	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = ( Z / n ) -> ( ( R ` u ) / u ) = ( ( R ` ( Z / n ) ) / ( Z / n ) ) )
273	272	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = ( Z / n ) -> ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) = ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / ( Z / n ) ) ) )
274	273	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( Z / n ) -> ( ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / ( Z / n ) ) ) <_ E ) )
275	274	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z / n ) e. ( V [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) -> ( A. u e. ( V [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / ( Z / n ) ) ) <_ E ) )
276	267, 269, 275	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / ( Z / n ) ) ) <_ E )
277	245, 276	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. n ) <_ E )
278	225, 221, 121	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. n ) <_ E <-> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) <_ ( E / n ) ) )
279	277, 278	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) <_ ( E / n ) )
280	225, 226, 227, 279	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( U / n ) - ( E / n ) ) <_ ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) )
281	224, 280	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( U - E ) / n ) <_ ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) )
282	210, 211, 122, 217, 281	lemul1ad 10963	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( ( U - E ) / n ) x. ( log ` n ) ) <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
283	208, 282	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( U - E ) x. ( ( log ` n ) / n ) ) <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
284	99, 124, 126, 199, 283	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
285	284	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. O ) /\ n e. I ) -> ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
286	69	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> n e. RR )
287	29, 152	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Z / ( K ^ J ) ) e. RR+ )
288	287	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z / ( K ^ J ) ) e. RR )
289	288	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( Z / ( K ^ J ) ) e. RR )
290	23	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR+ )
291	29, 290	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Z / Y ) e. RR+ )
292	291	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z / Y ) e. RR )
293	292	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( Z / Y ) e. RR )
294		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> n e. O )
295	294, 50	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ J ) ) ) ) )
296		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ J ) ) ) ) -> n <_ ( |_ ` ( Z / ( K ^ J ) ) ) )
297	295, 296	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> n <_ ( |_ ` ( Z / ( K ^ J ) ) ) )
298	69	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> n e. ZZ )
299		flge 12606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Z / ( K ^ J ) ) e. RR /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ ( Z / ( K ^ J ) ) <-> n <_ ( |_ ` ( Z / ( K ^ J ) ) ) ) )
300	289, 298, 299	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( n <_ ( Z / ( K ^ J ) ) <-> n <_ ( |_ ` ( Z / ( K ^ J ) ) ) ) )
301	297, 300	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> n <_ ( Z / ( K ^ J ) ) )
302	290	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR )
303	24	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. RR+ )
304	303	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. RR )
305	152	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ^ J ) e. RR )
306	24	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y < X )
307	302, 304, 306	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y <_ X )
308		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. ( M..^ N ) -> J e. ( M ... N ) )
309	56, 308	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J e. ( M ... N ) )
310	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemh 25288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ J e. ( M ... N ) ) -> ( X < ( K ^ J ) /\ ( K ^ J ) <_ ( sqr ` Z ) ) )
311	309, 310	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X < ( K ^ J ) /\ ( K ^ J ) <_ ( sqr ` Z ) ) )
312	311	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X < ( K ^ J ) )
313	304, 305, 312	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X <_ ( K ^ J ) )
314	302, 304, 305, 307, 313	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y <_ ( K ^ J ) )
315	290, 152, 29	lediv2d 11896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y <_ ( K ^ J ) <-> ( Z / ( K ^ J ) ) <_ ( Z / Y ) ) )
316	314, 315	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z / ( K ^ J ) ) <_ ( Z / Y ) )
317	316	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( Z / ( K ^ J ) ) <_ ( Z / Y ) )
318	286, 289, 293, 301, 317	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> n <_ ( Z / Y ) )
319	69, 318	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> ( n e. NN /\ n <_ ( Z / Y ) ) )
320	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86	pntlemn 25289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n <_ ( Z / Y ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
321	319, 320	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> 0 <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
322	321	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. O ) /\ -. n e. I ) -> 0 <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
323	103, 104, 285, 322	ifbothda 4123	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. O ) -> if ( n e. I , ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) , 0 ) <_ ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
324	52, 102, 82, 323	fsumle 14531	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. O if ( n e. I , ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) , 0 ) <_ sum_ n e. O ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
325	98, 324	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` I ) x. ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) <_ sum_ n e. O ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
326	36, 49, 83, 89, 325	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) <_ sum_ n e. O ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   8c8 11076   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   ^cexp 12860   #chash 13117   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   sum_csu 14416   expce 14792   _eceu 14793   logclog 24301  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-vma 24824  df-chp 24825

This theorem is referenced by:  pntlemi  25293