Theorem fsumharmonic 24738

Description: Bound a finite sum based on the harmonic series, where the "strong" bound C only applies asymptotically, and there is a "weak" bound R for the remaining values. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumharmonic.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
fsumharmonic.t	|- ( ph -> ( T e. RR /\ 1 <_ T ) )
fsumharmonic.r	|- ( ph -> ( R e. RR /\ 0 <_ R ) )
fsumharmonic.b	|- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> B e. CC )
fsumharmonic.c	|- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> C e. RR )
fsumharmonic.0	|- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> 0 <_ C )
fsumharmonic.1	|- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ T <_ ( A / n ) ) -> ( abs ` B ) <_ ( C x. n ) )
fsumharmonic.2	|- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ ( A / n ) < T ) -> ( abs ` B ) <_ R )

Assertion

Ref	Expression
fsumharmonic	|- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( B / n ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) C + ( R x. ( ( log ` T ) + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   ph, n   R, n   T, n

Allowed substitution hints:   B( n)   C( n)

Proof of Theorem fsumharmonic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) e. Fin )
2		fsumharmonic.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> B e. CC )
3		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. NN )
4	3	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
5	4	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. CC )
6	4	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n =/= 0 )
7	2, 5, 6	divcld 10801	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( B / n ) e. CC )
8	1, 7	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( B / n ) e. CC )
9	8	abscld 14175	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( B / n ) ) e. RR )
10	2	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
11	10, 4	nndivred 11069	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( abs ` B ) / n ) e. RR )
12	1, 11	fsumrecl 14465	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( abs ` B ) / n ) e. RR )
13		fsumharmonic.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> C e. RR )
14	1, 13	fsumrecl 14465	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) C e. RR )
15		fsumharmonic.r	. . . . 5 |- ( ph -> ( R e. RR /\ 0 <_ R ) )
16	15	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR )
17		fsumharmonic.t	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T e. RR /\ 1 <_ T ) )
18	17	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. RR )
19		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR )
20		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
21		0lt1 10550	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < 1 )
23	17	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ T )
24	19, 20, 18, 22, 23	ltletrd 10197	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < T )
25	18, 24	elrpd 11869	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR+ )
26	25	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` T ) e. RR )
27	26, 20	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` T ) + 1 ) e. RR )
28	16, 27	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( R x. ( ( log ` T ) + 1 ) ) e. RR )
29	14, 28	readdcld 10069	. 2 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) C + ( R x. ( ( log ` T ) + 1 ) ) ) e. RR )
30	1, 7	fsumabs 14533	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( B / n ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( abs ` ( B / n ) ) )
31	2, 5, 6	absdivd 14194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( abs ` ( B / n ) ) = ( ( abs ` B ) / ( abs ` n ) ) )
32	4	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. RR+ )
33	32	rprege0d 11879	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( n e. RR /\ 0 <_ n ) )
34		absid 14036	. . . . . . 7 |- ( ( n e. RR /\ 0 <_ n ) -> ( abs ` n ) = n )
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( abs ` n ) = n )
36	35	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( abs ` B ) / ( abs ` n ) ) = ( ( abs ` B ) / n ) )
37	31, 36	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( abs ` ( B / n ) ) = ( ( abs ` B ) / n ) )
38	37	sumeq2dv 14433	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( abs ` ( B / n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( abs ` B ) / n ) )
39	30, 38	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( B / n ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( abs ` B ) / n ) )
40		fsumharmonic.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR+ )
41	40, 25	rpdivcld 11889	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A / T ) e. RR+ )
42	41	rprege0d 11879	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A / T ) e. RR /\ 0 <_ ( A / T ) ) )
43		flge0nn0 12621	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / T ) e. RR /\ 0 <_ ( A / T ) ) -> ( |_ ` ( A / T ) ) e. NN0 )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( A / T ) ) e. NN0 )
45	44	nn0red 11352	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( A / T ) ) e. RR )
46	45	ltp1d 10954	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( A / T ) ) < ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) )
47		fzdisj 12368	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( A / T ) ) < ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) = (/) )
48	46, 47	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) = (/) )
49		nn0p1nn 11332	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( A / T ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) e. NN )
50	44, 49	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) e. NN )
51		nnuz 11723	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
52	50, 51	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
53	41	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A / T ) e. RR )
54	40	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
55	18, 24	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T e. RR /\ 0 < T ) )
56	40	rpregt0d 11878	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
57		lediv2 10913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( T e. RR /\ 0 < T ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ T <-> ( A / T ) <_ ( A / 1 ) ) )
58	20, 22, 55, 56, 57	syl211anc 1332	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 <_ T <-> ( A / T ) <_ ( A / 1 ) ) )
59	23, 58	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A / T ) <_ ( A / 1 ) )
60	54	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
61	60	div1d 10793	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A / 1 ) = A )
62	59, 61	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A / T ) <_ A )
63		flword2 12614	. . . . . 6 |- ( ( ( A / T ) e. RR /\ A e. RR /\ ( A / T ) <_ A ) -> ( |_ ` A ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( A / T ) ) ) )
64	53, 54, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( A / T ) ) ) )
65		fzsplit2 12366	. . . . 5 |- ( ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( |_ ` A ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) )
66	52, 64, 65	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) )
67	11	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( abs ` B ) / n ) e. CC )
68	48, 66, 1, 67	fsumsplit 14471	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( abs ` B ) / n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( ( abs ` B ) / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( ( abs ` B ) / n ) ) )
69		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) e. Fin )
70		ssun1 3776	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) )
71	70, 66	syl5sseqr 3654	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
72	71	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
73	72, 11	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> ( ( abs ` B ) / n ) e. RR )
74	69, 73	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( ( abs ` B ) / n ) e. RR )
75		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) e. Fin )
76		ssun2 3777	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) )
77	76, 66	syl5sseqr 3654	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
78	77	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) )
79	78, 11	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( abs ` B ) / n ) e. RR )
80	75, 79	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( ( abs ` B ) / n ) e. RR )
81	72, 13	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> C e. RR )
82	69, 81	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) C e. RR )
83		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A / T ) e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ ( A / T ) ) ) )
84	53, 83	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ ( A / T ) ) ) )
85	84	simplbda 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> n <_ ( A / T ) )
86	32	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. RR )
87	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> A e. RR )
88	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( T e. RR /\ 0 < T ) )
89		lemuldiv2 10904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. RR /\ A e. RR /\ ( T e. RR /\ 0 < T ) ) -> ( ( T x. n ) <_ A <-> n <_ ( A / T ) ) )
90	86, 87, 88, 89	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( T x. n ) <_ A <-> n <_ ( A / T ) ) )
91	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> T e. RR )
92	91, 87, 32	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( T x. n ) <_ A <-> T <_ ( A / n ) ) )
93	90, 92	bitr3d 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( n <_ ( A / T ) <-> T <_ ( A / n ) ) )
94	72, 93	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> ( n <_ ( A / T ) <-> T <_ ( A / n ) ) )
95	85, 94	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> T <_ ( A / n ) )
96		fsumharmonic.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ T <_ ( A / n ) ) -> ( abs ` B ) <_ ( C x. n ) )
97	96	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( T <_ ( A / n ) -> ( abs ` B ) <_ ( C x. n ) ) )
98	72, 97	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> ( T <_ ( A / n ) -> ( abs ` B ) <_ ( C x. n ) ) )
99	95, 98	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> ( abs ` B ) <_ ( C x. n ) )
100	72, 2	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> B e. CC )
101	100	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
102	72, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> n e. NN )
103	102	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> n e. RR+ )
104	101, 81, 103	ledivmul2d 11926	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` B ) / n ) <_ C <-> ( abs ` B ) <_ ( C x. n ) ) )
105	99, 104	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> ( ( abs ` B ) / n ) <_ C )
106	69, 73, 81, 105	fsumle 14531	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( ( abs ` B ) / n ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) C )
107		fsumharmonic.0	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> 0 <_ C )
108	1, 13, 107, 71	fsumless 14528	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) C <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) C )
109	74, 82, 14, 106, 108	letrd 10194	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( ( abs ` B ) / n ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) C )
110	78, 3	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
111	110	nnrecred 11066	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
112	75, 111	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) e. RR )
113	16, 112	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( R x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) ) e. RR )
114	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> R e. RR )
115	114	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> R e. CC )
116	110	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. CC )
117	110	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> n =/= 0 )
118	115, 116, 117	divrecd 10804	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( R / n ) = ( R x. ( 1 / n ) ) )
119	114, 110	nndivred 11069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( R / n ) e. RR )
120	118, 119	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( R x. ( 1 / n ) ) e. RR )
121	78, 10	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
122	78, 32	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. RR+ )
123		noel 3919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. n e. (/)
124		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) <-> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) )
125	48	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( n e. ( ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) i^i ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) <-> n e. (/) ) )
126	124, 125	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) <-> n e. (/) ) )
127	123, 126	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) )
128		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) -> -. n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) <-> -. ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) )
129	127, 128	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) -> -. n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) )
130	129	con2d 129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) -> -. n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) )
131	130	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> -. n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) )
132	83	baibd 948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A / T ) e. RR /\ n e. NN ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) <-> n <_ ( A / T ) ) )
133	53, 3, 132	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) <-> n <_ ( A / T ) ) )
134	133, 93	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) <-> T <_ ( A / n ) ) )
135	78, 134	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) <-> T <_ ( A / n ) ) )
136	131, 135	mtbid 314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> -. T <_ ( A / n ) )
137	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> A e. RR )
138	137, 110	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( A / n ) e. RR )
139	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> T e. RR )
140	138, 139	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( A / n ) < T <-> -. T <_ ( A / n ) ) )
141	136, 140	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( A / n ) < T )
142		fsumharmonic.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ ( A / n ) < T ) -> ( abs ` B ) <_ R )
143	142	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( A / n ) < T -> ( abs ` B ) <_ R ) )
144	78, 143	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( A / n ) < T -> ( abs ` B ) <_ R ) )
145	141, 144	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( abs ` B ) <_ R )
146	121, 114, 122, 145	lediv1dd 11930	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( abs ` B ) / n ) <_ ( R / n ) )
147	146, 118	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( abs ` B ) / n ) <_ ( R x. ( 1 / n ) ) )
148	75, 79, 120, 147	fsumle 14531	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( ( abs ` B ) / n ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( R x. ( 1 / n ) ) )
149	16	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. CC )
150	111	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
151	75, 149, 150	fsummulc2 14516	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( R x. ( 1 / n ) ) )
152	148, 151	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( ( abs ` B ) / n ) <_ ( R x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) ) )
153	4	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
154	153	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
155	48, 66, 1, 154	fsumsplit 14471	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) ) )
156	155	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) )
157	102	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
158	69, 157	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) e. RR )
159	158	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) e. CC )
160	112	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) e. CC )
161	159, 160	pncan2d 10394	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) )
162	156, 161	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) )
163	1, 153	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) e. RR )
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) e. RR )
165	158	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) e. RR )
166	164, 165	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) e. RR )
167		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> 0 e. RR )
168	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( ( log ` T ) + 1 ) e. RR )
169		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) e. Fin )
170	103	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A < 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> n e. RR+ )
171	170	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A < 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR+ )
172	171	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A < 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
173	171	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A < 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / n ) )
174	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> A e. RR+ )
175	174	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> 0 <_ A )
176		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> A < 1 )
177		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 + 1 ) = 1
178	176, 177	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> A < ( 0 + 1 ) )
179	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> A e. RR )
180		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ZZ
181		flbi 12617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = 0 <-> ( 0 <_ A /\ A < ( 0 + 1 ) ) ) )
182	179, 180, 181	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( ( |_ ` A ) = 0 <-> ( 0 <_ A /\ A < ( 0 + 1 ) ) ) )
183	175, 178, 182	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( |_ ` A ) = 0 )
184	183	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) = ( 1 ... 0 ) )
185		fz10 12362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
186	184, 185	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) = (/) )
187		0ss 3972	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) )
188	186, 187	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) )
189	169, 172, 173, 188	fsumless 14528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) )
190	164, 165	suble0d 10618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) )
191	189, 190	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ 0 )
192	18, 23	logge0d 24376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( log ` T ) )
193		0le1 10551	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
194	193	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
195	26, 20, 192, 194	addge0d 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( ( log ` T ) + 1 ) )
196	195	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> 0 <_ ( ( log ` T ) + 1 ) )
197	166, 167, 168, 191, 196	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A < 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( log ` T ) + 1 ) )
198		harmonicubnd 24736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` A ) + 1 ) )
199	54, 198	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 1 <_ A ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` A ) + 1 ) )
200		harmoniclbnd 24735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A / T ) e. RR+ -> ( log ` ( A / T ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) )
201	41, 200	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` ( A / T ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) )
202	201	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 1 <_ A ) -> ( log ` ( A / T ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) )
203	40	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )
204		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( log ` A ) e. RR -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. RR )
205	203, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` A ) + 1 ) e. RR )
206	41	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( log ` ( A / T ) ) e. RR )
207		le2sub 10527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) e. RR ) /\ ( ( ( log ` A ) + 1 ) e. RR /\ ( log ` ( A / T ) ) e. RR ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` A ) + 1 ) /\ ( log ` ( A / T ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( log ` A ) + 1 ) - ( log ` ( A / T ) ) ) ) )
208	163, 158, 205, 206, 207	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` A ) + 1 ) /\ ( log ` ( A / T ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( log ` A ) + 1 ) - ( log ` ( A / T ) ) ) ) )
209	208	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 1 <_ A ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` A ) + 1 ) /\ ( log ` ( A / T ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( log ` A ) + 1 ) - ( log ` ( A / T ) ) ) ) )
210	199, 202, 209	mp2and 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 1 <_ A ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( log ` A ) + 1 ) - ( log ` ( A / T ) ) ) )
211	203	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( log ` A ) e. CC )
212	20	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
213	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( log ` T ) e. CC )
214	211, 212, 213	pnncand 10431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( log ` A ) + 1 ) - ( ( log ` A ) - ( log ` T ) ) ) = ( 1 + ( log ` T ) ) )
215	40, 25	relogdivd 24372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( log ` ( A / T ) ) = ( ( log ` A ) - ( log ` T ) ) )
216	215	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( log ` A ) + 1 ) - ( log ` ( A / T ) ) ) = ( ( ( log ` A ) + 1 ) - ( ( log ` A ) - ( log ` T ) ) ) )
217		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
218		addcom 10222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( log ` T ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( log ` T ) + 1 ) = ( 1 + ( log ` T ) ) )
219	213, 217, 218	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( log ` T ) + 1 ) = ( 1 + ( log ` T ) ) )
220	214, 216, 219	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( log ` A ) + 1 ) - ( log ` ( A / T ) ) ) = ( ( log ` T ) + 1 ) )
221	220	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 1 <_ A ) -> ( ( ( log ` A ) + 1 ) - ( log ` ( A / T ) ) ) = ( ( log ` T ) + 1 ) )
222	210, 221	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 1 <_ A ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( log ` T ) + 1 ) )
223	197, 222, 54, 20	ltlecasei 10145	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( log ` T ) + 1 ) )
224	162, 223	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` T ) + 1 ) )
225		lemul2a 10878	. . . . . 6 |- ( ( ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) e. RR /\ ( ( log ` T ) + 1 ) e. RR /\ ( R e. RR /\ 0 <_ R ) ) /\ sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` T ) + 1 ) ) -> ( R x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( R x. ( ( log ` T ) + 1 ) ) )
226	112, 27, 15, 224, 225	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( ph -> ( R x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( R x. ( ( log ` T ) + 1 ) ) )
227	80, 113, 28, 152, 226	letrd 10194	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( ( abs ` B ) / n ) <_ ( R x. ( ( log ` T ) + 1 ) ) )
228	74, 80, 14, 28, 109, 227	le2addd 10646	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / T ) ) ) ( ( abs ` B ) / n ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` ( A / T ) ) + 1 ) ... ( |_ ` A ) ) ( ( abs ` B ) / n ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) C + ( R x. ( ( log ` T ) + 1 ) ) ) )
229	68, 228	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( abs ` B ) / n ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) C + ( R x. ( ( log ` T ) + 1 ) ) ) )
230	9, 12, 29, 39, 229	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( B / n ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) C + ( R x. ( ( log ` T ) + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   sum_csu 14416   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-em 24719

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  25187  mulog2sumlem2  25224