Theorem stirlinglem13 40303

Description: B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since B is log A, in another theorem it is proven that A converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem13.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem13	|- E. d e. RR B ~~> d

Distinct variable group:   B, d

Allowed substitution hints:   A( n, d)   B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13

Dummy variables x j y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
2		stirlinglem13.2	. . . . . . 7 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
3	2	elrnmpt 5372	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. ran B <-> E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. ran B <-> E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) )
5		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> y = ( log ` ( A ` n ) ) )
6		stirlinglem13.1	. . . . . . . . . 10 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
7	6	stirlinglem2 40292	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) e. RR+ )
8	7	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
10	5, 9	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> y e. RR )
11	10	rexlimiva 3028	. . . . 5 |- ( E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) -> y e. RR )
12	4, 11	sylbi 207	. . . 4 |- ( y e. ran B -> y e. RR )
13	12	ssriv 3607	. . 3 |- ran B C_ RR
14		1nn 11031	. . . . . 6 |- 1 e. NN
15	6	stirlinglem2 40292	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> ( A ` 1 ) e. RR+ )
16		relogcl 24322	. . . . . . . 8 |- ( ( A ` 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR )
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR
18		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ n 1
19		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n log
20		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
21	6, 20	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n A
22	21, 18	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( A ` 1 )
23	19, 22	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( log ` ( A ` 1 ) )
24		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( A ` n ) = ( A ` 1 ) )
25	24	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
26	18, 23, 25, 2	fvmptf 6301	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR ) -> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
27	14, 17, 26	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( A ` j ) = ( A ` 1 ) )
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( j = 1 -> ( log ` ( A ` j ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
30	29	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) <-> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) ) )
31	30	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. NN /\ ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) ) -> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
32	14, 27, 31	mp2an 708	. . . . 5 |- E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) )
33	27, 17	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- ( B ` 1 ) e. RR
34		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( log ` ( A ` n ) )
35		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n j
36	21, 35	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` j )
37	19, 36	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` j ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
40	34, 37, 39	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) ) = ( j e. NN |-> ( log ` ( A ` j ) ) )
41	2, 40	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- B = ( j e. NN |-> ( log ` ( A ` j ) ) )
42	41	elrnmpt 5372	. . . . . 6 |- ( ( B ` 1 ) e. RR -> ( ( B ` 1 ) e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) ) )
43	33, 42	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( B ` 1 ) e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
44	32, 43	mpbir 221	. . . 4 |- ( B ` 1 ) e. ran B
45	44	ne0ii 3923	. . 3 |- ran B =/= (/)
46		4re 11097	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
47		4ne0 11117	. . . . . . 7 |- 4 =/= 0
48	46, 47	rereccli 10790	. . . . . 6 |- ( 1 / 4 ) e. RR
49	33, 48	resubcli 10343	. . . . 5 |- ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) e. RR
50		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
51	6, 2, 50	stirlinglem12 40302	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) )
52	51	rgen 2922	. . . . 5 |- A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j )
53		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) -> ( x <_ ( B ` j ) <-> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) )
54	53	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) -> ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) <-> A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) )
55	54	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) e. RR /\ A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
56	49, 52, 55	mp2an 708	. . . 4 |- E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j )
57		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> y e. ran B )
58	8	rgen 2922	. . . . . . . . 9 |- A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. RR
59	2	fnmpt 6020	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. RR -> B Fn NN )
60		fvelrnb 6243	. . . . . . . . 9 |- ( B Fn NN -> ( y e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` j ) = y ) )
61	58, 59, 60	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( y e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` j ) = y )
62	57, 61	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> E. j e. NN ( B ` j ) = y )
63		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ j A. j e. NN x <_ ( B ` j )
64		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ j y e. ran B
65	63, 64	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ j ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B )
66		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ j x <_ y
67		simp1l 1085	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
68		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> j e. NN )
69		rsp 2929	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> ( j e. NN -> x <_ ( B ` j ) ) )
70	67, 68, 69	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> x <_ ( B ` j ) )
71		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> ( B ` j ) = y )
72	70, 71	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> x <_ y )
73	72	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> ( j e. NN -> ( ( B ` j ) = y -> x <_ y ) ) )
74	65, 66, 73	rexlimd 3026	. . . . . . 7 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> ( E. j e. NN ( B ` j ) = y -> x <_ y ) )
75	62, 74	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> x <_ y )
76	75	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> A. y e. ran B x <_ y )
77	76	reximi 3011	. . . 4 |- ( E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y )
78	56, 77	ax-mp 5	. . 3 |- E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y
79		infrecl 11005	. . 3 |- ( ( ran B C_ RR /\ ran B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y ) -> inf ( ran B , RR , < ) e. RR )
80	13, 45, 78, 79	mp3an 1424	. 2 |- inf ( ran B , RR , < ) e. RR
81		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
82		1zzd 11408	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
83	2, 8	fmpti 6383	. . . . 5 |- B : NN --> RR
84	83	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> B : NN --> RR )
85		peano2nn 11032	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
86	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) ) )
87		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> n = ( j + 1 ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` ( j + 1 ) ) )
89	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. ( j + 1 ) ) )
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) )
91	87	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( n / _e ) = ( ( j + 1 ) / _e ) )
92	91, 87	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( n / _e ) ^ n ) = ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) )
93	90, 92	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) = ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) )
94	88, 93	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) = ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
95	85	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN0 )
96		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN )
97		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
98	95, 96, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
99		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 2 e. CC )
100		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> j e. CC )
101		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
102	100, 101	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. CC )
103	99, 102	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( j + 1 ) ) e. CC )
104	103	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
105		ere 14819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _e e. RR
106	105	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e e. CC
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> _e e. CC )
108		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
109		epos 14935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < _e
110	108, 109	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e =/= 0
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> _e =/= 0 )
112	102, 107, 111	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) e. CC )
113	112, 95	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
114	104, 113	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) e. CC )
115		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR+
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR+ )
117		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR )
118	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 0 e. RR )
119		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
120		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 <_ 1
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 0 <_ 1 )
122		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 1 <_ j )
123	118, 119, 117, 121, 122	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> 0 <_ j )
124	117, 123	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. RR+ )
125	116, 124	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( j + 1 ) ) e. RR+ )
126	125	sqrtgt0d 14151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) )
127	126	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) =/= 0 )
128	85	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) =/= 0 )
129	102, 107, 128, 111	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) =/= 0 )
130		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
131	130	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. ZZ )
132	112, 129, 131	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) =/= 0 )
133	104, 113, 127, 132	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) =/= 0 )
134	98, 114, 133	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. CC )
135	86, 94, 85, 134	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) = ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
136		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
137	95, 96, 136	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
138	125	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) e. RR+ )
139		epr 14936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _e e. RR+
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> _e e. RR+ )
141	124, 140	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) e. RR+ )
142	141, 131	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) e. RR+ )
143	138, 142	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR+ )
144	137, 143	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
145	135, 144	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
146	145	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
147		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( j + 1 )
148	21, 147	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` ( j + 1 ) )
149	19, 148	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) )
150		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
151	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
152	147, 149, 151, 2	fvmptf 6301	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
153	85, 146, 152	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
154	153, 146	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
155	83	ffvelrni 6358	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) e. RR )
156		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( z e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. z ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. z ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. z ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. z ) ) ) )
157	6, 2, 156	stirlinglem11 40301	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) < ( B ` j ) )
158	154, 155, 157	ltled 10185	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ ( B ` j ) )
159	158	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ ( B ` j ) )
160	56	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
161	81, 82, 84, 159, 160	climinf 39838	. . 3 |- ( T. -> B ~~> inf ( ran B , RR , < ) )
162	161	trud 1493	. 2 |- B ~~> inf ( ran B , RR , < )
163		breq2 4657	. . 3 |- ( d = inf ( ran B , RR , < ) -> ( B ~~> d <-> B ~~> inf ( ran B , RR , < ) ) )
164	163	rspcev 3309	. 2 |- ( (inf ( ran B , RR , < ) e. RR /\ B ~~> inf ( ran B , RR , < ) ) -> E. d e. RR B ~~> d )
165	80, 162, 164	mp2an 708	1 |- E. d e. RR B ~~> d

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   ^cexp 12860   !cfa 13060   sqrcsqrt 13973   ~~> cli 14215   _eceu 14793   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  stirlinglem14  40304