Theorem stirlinglem11 40301

Description: B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem11.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem11.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
stirlinglem11.3	|- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem11	|- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) )

Distinct variable groups:   k, n   n, K   k, N, n

Allowed substitution hints:   A( k, n)   B( k, n)   K( k)

Proof of Theorem stirlinglem11

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10041	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
2		stirlinglem11.3	. . . . . 6 |- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) ) )
4		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> k = 1 )
5	4	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. 1 ) )
6	5	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) )
7	6	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) )
8	5	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) )
9	7, 8	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) )
10		1nn 11031	. . . . . 6 |- 1 e. NN
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. NN )
12		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
13		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
14	12, 13	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
15	14, 13	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. CC )
16		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 1 ) = 2
17	16	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
18		2p1e3 11151	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 + 1 ) = 3
19	17, 18	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = 3
20		3ne0 11115	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 0
21	19, 20	eqnetri 2864	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) =/= 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) =/= 0 )
23	15, 22	reccld 10794	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. CC )
24		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
25	12, 24	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. CC )
26	25, 13	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
27		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
28		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
30		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR )
31	29, 30	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
32	31, 27	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
33		0lt1 10550	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
35		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
37		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
38	36, 37	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
39	27, 38	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
40	1, 27, 32, 34, 39	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
41	40	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
42	26, 41	reccld 10794	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. CC )
43		2nn0 11309	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. NN0 )
45		1nn0 11308	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
47	44, 46	nn0mulcld 11356	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. NN0 )
48	42, 47	expcld 13008	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. CC )
49	23, 48	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. CC )
50	3, 9, 11, 49	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) )
51		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
52	28, 51	remulcli 10054	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) e. RR
53	52, 51	readdcli 10053	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. RR
54	53, 21	rereccli 10790	. . . . . 6 |- ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR
55	54	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR )
56	32, 41	rereccld 10852	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
57	56, 47	reexpcld 13025	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. RR )
58	55, 57	remulcld 10070	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. RR )
59	50, 58	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. RR )
60		stirlinglem11.1	. . . . . . . 8 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
61	60	stirlinglem2 40292	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A ` N ) e. RR+ )
62	61	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` N ) ) e. RR )
63		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ n N
64		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ n log
65		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
66	60, 65	nfcxfr 2762	. . . . . . . . 9 |- F/_ n A
67	66, 63	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( A ` N )
68	64, 67	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ n ( log ` ( A ` N ) )
69		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
71		stirlinglem11.2	. . . . . . 7 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
72	63, 68, 70, 71	fvmptf 6301	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( log ` ( A ` N ) ) e. RR ) -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
73	62, 72	mpdan 702	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
74	73, 62	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. RR )
75		peano2nn 11032	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
76	60	stirlinglem2 40292	. . . . . . . 8 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. RR+ )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. RR+ )
78	77	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
79		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ n ( N + 1 )
80	66, 79	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( A ` ( N + 1 ) )
81	64, 80	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) )
82		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( N + 1 ) ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
84	79, 81, 83, 71	fvmptf 6301	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( N + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
85	75, 78, 84	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
86	85, 78	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) e. RR )
87	74, 86	resubcld 10458	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
88	29, 27	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
89		0le2 11111	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 2
90	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ 2 )
91		0le1 10551	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ 1 )
93	29, 27, 90, 92	mulge0d 10604	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. 1 ) )
94	88, 93	ge0p1rpd 11902	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. RR+ )
95	94	rpreccld 11882	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR+ )
96	37	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
97	29, 30, 90, 96	mulge0d 10604	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
98	31, 97	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
99	98	rpreccld 11882	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR+ )
100		2z 11409	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
102		1z 11407	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
104	101, 103	zmulcld 11488	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. ZZ )
105	99, 104	rpexpcld 13032	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. RR+ )
106	95, 105	rpmulcld 11888	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. RR+ )
107	50, 106	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. RR+ )
108	107	rpgt0d 11875	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 < ( K ` 1 ) )
109	87, 59	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) e. RR )
110		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
111	103	peano2zd 11485	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 + 1 ) e. ZZ )
112		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
113	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) ) )
114		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. j ) )
115	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
117	114	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) )
118	116, 117	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ k = j ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
120		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN )
121		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. CC )
122		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. CC )
123	122	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. CC )
124	121, 123	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. CC )
125		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
126	124, 125	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. CC )
127		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 e. RR )
128		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. RR )
129	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. RR )
130		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR )
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. RR )
132	129, 131	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
133	132, 128	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
134	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 < 1 )
135	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. RR+ )
136		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR+ )
137	136	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. RR+ )
138	135, 137	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
139	128, 138	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
140	127, 128, 133, 134, 139	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
141	140	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
142	126, 141	reccld 10794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. CC )
143	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> N e. CC )
144	121, 143	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
145	144, 125	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
146	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
147	145, 146	reccld 10794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. CC )
148	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. NN0 )
149		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
150	149	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
151	148, 150	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
152	147, 151	expcld 13008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) e. CC )
153	142, 152	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. CC )
154	113, 119, 120, 153	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
155		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 e. RR )
156		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
157	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR )
158	157, 130	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR )
159	158, 156	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
160	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 < 1 )
161	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR+ )
162	161, 136	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
163	156, 162	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 1 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
164	155, 156, 159, 160, 163	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> 0 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
165	164	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
166	165	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
167	126, 166	reccld 10794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. CC )
168	167, 152	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. CC )
169	154, 168	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) e. CC )
170		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) )
171	60, 71, 170, 2	stirlinglem9 40299	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , K ) ~~> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
172	112, 11, 169, 171	clim2ser 14385	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> seq ( 1 + 1 ) ( + , K ) ~~> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) )
173		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> ( 1 + 1 ) e. NN )
174		uznnssnn 11735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 + 1 ) e. NN -> ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN )
175	10, 173, 174	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN )
177	176	sseld 3602	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. NN ) )
178	177	imdistani 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( N e. NN /\ j e. NN ) )
179	178, 154	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( K ` j ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
180	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 2 e. RR )
181		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. RR )
182	180, 181	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
183		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 1 e. RR )
184	182, 183	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
185	175	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. NN )
186	185, 165	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
187	184, 186	rereccld 10852	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. RR )
188	187	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. RR )
189	32	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
190	41	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
191	189, 190	rereccld 10852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
192	178, 151	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
193	191, 192	reexpcld 13025	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) e. RR )
194	188, 193	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. RR )
195	179, 194	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( K ` j ) e. RR )
196		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
197	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 2 e. RR )
198	178, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> j e. RR )
199	197, 198	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
200	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ 2 )
201		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 e. RR )
202	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 <_ 2 )
203		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 + 1 ) = 2
204		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ j )
205	203, 204	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 2 <_ j )
206	201, 180, 181, 202, 205	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 <_ j )
207	206	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
208	197, 198, 200, 207	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. j ) )
209	199, 208	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR+ )
210	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ 1 )
211	196, 209, 210	divge0d 11912	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
212	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> N e. RR )
213	197, 212	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
214	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ N )
215	197, 212, 200, 214	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
216	213, 215	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
217	196, 216, 210	divge0d 11912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
218	191, 192, 217	expge0d 13026	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) )
219	188, 193, 211, 218	mulge0d 10604	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
220	219, 179	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( K ` j ) )
221	110, 111, 172, 195, 220	iserge0 14391	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) )
222		seq1 12814	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) = ( K ` 1 ) )
223	102, 222	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) = ( K ` 1 ) )
224	223	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) = ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) )
225	221, 224	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) )
226	1, 109, 59, 225	leadd1dd 10641	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0 + ( K ` 1 ) ) <_ ( ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) + ( K ` 1 ) ) )
227	50, 49	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. CC )
228	227	addid2d 10237	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0 + ( K ` 1 ) ) = ( K ` 1 ) )
229	74	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. CC )
230	86	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) e. CC )
231	229, 230	subcld 10392	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) e. CC )
232	231, 227	npcand 10396	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) + ( K ` 1 ) ) = ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
233	226, 228, 232	3brtr3d 4684	. . 3 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) <_ ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
234	1, 59, 87, 108, 233	ltletrd 10197	. 2 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
235	86, 74	posdifd 10614	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) <-> 0 < ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) ) )
236	234, 235	mpbird 247	1 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   seqcseq 12801   ^cexp 12860   !cfa 13060   sqrcsqrt 13973   _eceu 14793   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  stirlinglem13  40303