Theorem dchrvmasum2if 25186

Description: Combine the results of dchrvmasumlem1 25184 and dchrvmasum2lem 25185 inside a conditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasum.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
dchrvmasum2.2	|- ( ph -> 1 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasum2if	|- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + if ( ps , ( log ` A ) , 0 ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, n, .1.   m, d, n, A   m, N, n   ph, d, m, n   ps, d, m   m, Z, n   D, m, n   L, d, m, n   X, d, m, n   A, n

Allowed substitution hints:   ps( n)   D( d)   .1. ( d)   G( m, n, d)   N( d)   Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasum2if

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) e. Fin )
2		rpvmasum.g	. . . . . . . . 9 |- G = (DChr ` N )
3		rpvmasum.z	. . . . . . . . 9 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
4		rpvmasum.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( Base ` G )
5		rpvmasum.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ZRHom ` Z )
6		dchrisum.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. D )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
8		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> d e. ZZ )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. ZZ )
10	2, 3, 4, 5, 7, 9	dchrzrhcl 24970	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
11		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> d e. NN )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. NN )
13		mucl 24867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
14	13	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. RR )
15		nndivre 11056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( mmu ` d ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
16	14, 15	mpancom 703	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. NN -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
18	17	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
19	10, 18	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
20		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) e. Fin )
21	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> X e. D )
22		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. ZZ )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
24	2, 3, 4, 5, 21, 23	dchrzrhcl 24970	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
25		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. NN )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. NN )
27	26	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
28	27	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
29	28, 26	nndivred 11069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. RR )
30	29	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. CC )
31	24, 30	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) e. CC )
32	20, 31	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) e. CC )
33	19, 32	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) e. CC )
34		dchrvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR+ )
35	11	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> d e. RR+ )
36		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR+ /\ d e. RR+ ) -> ( A / d ) e. RR+ )
37	34, 35, 36	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( A / d ) e. RR+ )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( A / d ) e. RR+ )
39	38, 27	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( A / d ) / m ) e. RR+ )
40	39	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) e. RR )
41	40, 26	nndivred 11069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) e. RR )
42	41	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) e. CC )
43	24, 42	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) e. CC )
44	20, 43	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) e. CC )
45	19, 44	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) e. CC )
46	1, 33, 45	fsumadd 14470	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) + ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) + sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) ) )
47	38, 27	relogdivd 24372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) = ( ( log ` ( A / d ) ) - ( log ` m ) ) )
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) + ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) ) = ( ( log ` m ) + ( ( log ` ( A / d ) ) - ( log ` m ) ) ) )
49	28	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. CC )
50	37	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( log ` ( A / d ) ) e. RR )
51	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( log ` ( A / d ) ) e. CC )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` ( A / d ) ) e. CC )
53	49, 52	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) + ( ( log ` ( A / d ) ) - ( log ` m ) ) ) = ( log ` ( A / d ) ) )
54	48, 53	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` ( A / d ) ) = ( ( log ` m ) + ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) ) )
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) = ( ( ( log ` m ) + ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) ) / m ) )
56	40	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) e. CC )
57	26	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. CC )
58	26	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m =/= 0 )
59	49, 56, 57, 58	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( log ` m ) + ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) ) / m ) = ( ( ( log ` m ) / m ) + ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) )
60	55, 59	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) = ( ( ( log ` m ) / m ) + ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) )
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( ( log ` m ) / m ) + ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) )
62	24, 30, 42	adddid 10064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( ( log ` m ) / m ) + ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) + ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) )
63	61, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) + ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) )
64	63	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) + ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) )
65	20, 31, 43	fsumadd 14470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) + ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) + sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) )
66	64, 65	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) + sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) )
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) + sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) ) )
68	19, 32, 44	adddid 10064	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) + sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) + ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) ) )
69	67, 68	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) + ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) ) )
70	69	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) + ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) ) )
71		rpvmasum.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
72		rpvmasum.1	. . . . . . 7 |- .1. = ( 0g ` G )
73		dchrisum.n1	. . . . . . 7 |- ( ph -> X =/= .1. )
74	3, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34	dchrvmasumlem1 25184	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
75		dchrvmasum2.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 <_ A )
76	3, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34, 75	dchrvmasum2lem 25185	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` A ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) )
77	74, 76	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + ( log ` A ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) + sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( ( A / d ) / m ) ) / m ) ) ) ) )
78	46, 70, 77	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + ( log ` A ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) ) )
79	78	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + ( log ` A ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) ) )
80		iftrue 4092	. . . . 5 |- ( ps -> if ( ps , ( log ` A ) , 0 ) = ( log ` A ) )
81	80	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ps -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + if ( ps , ( log ` A ) , 0 ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + ( log ` A ) ) )
82	81	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + if ( ps , ( log ` A ) , 0 ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + ( log ` A ) ) )
83		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( ps -> if ( ps , ( A / d ) , m ) = ( A / d ) )
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ps -> ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) = ( log ` ( A / d ) ) )
85	84	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ps -> ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) = ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) )
87	86	sumeq2sdv 14435	. . . . . 6 |- ( ps -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) )
88	87	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ps -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) ) )
89	88	sumeq2sdv 14435	. . . 4 |- ( ps -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) ) )
90	89	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` ( A / d ) ) / m ) ) ) )
91	79, 82, 90	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + if ( ps , ( log ` A ) , 0 ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) ) )
92	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
93		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. ZZ )
94	93	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. ZZ )
95	2, 3, 4, 5, 92, 94	dchrzrhcl 24970	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
96		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. NN )
97	96	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
98		vmacl 24844	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
99		nndivre 11056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (Λ ` n ) e. RR /\ n e. NN ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
100	98, 99	mpancom 703	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
101	100	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
102	97, 101	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
103	95, 102	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. CC )
104	1, 103	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. CC )
105	104	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. CC )
106	105	addid1d 10236	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + 0 ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
107		iffalse 4095	. . . . 5 |- ( -. ps -> if ( ps , ( log ` A ) , 0 ) = 0 )
108	107	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , ( log ` A ) , 0 ) = 0 )
109	108	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + if ( ps , ( log ` A ) , 0 ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + 0 ) )
110		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ps -> if ( ps , ( A / d ) , m ) = m )
111	110	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( -. ps -> ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) = ( log ` m ) )
112	111	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( -. ps -> ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) = ( ( log ` m ) / m ) )
113	112	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( -. ps -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
114	113	sumeq2sdv 14435	. . . . . 6 |- ( -. ps -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
115	114	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( -. ps -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
116	115	sumeq2sdv 14435	. . . 4 |- ( -. ps -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
117	74	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
118	116, 117	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
119	106, 109, 118	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + if ( ps , ( log ` A ) , 0 ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) ) )
120	91, 119	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) + if ( ps , ( log ` A ) , 0 ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` if ( ps , ( A / d ) , m ) ) / m ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   sum_csu 14416   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851   logclog 24301  Λcvma 24818   mmucmu 24821  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-vma 24824  df-mu 24827  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  25191