lhe4.4ex1a - Mathbox for Steve Rodriguez

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Theorem lhe4.4ex1a 38528

Description: Example of the Fundamental Theorem of Calculus, part two (ftc2 23807):

. Section 4.4 example 1a of [LarsonHostetlerEdwards] p. 311. (The book teaches ftc2 23807 as simply the "Fundamental Theorem of Calculus", then ftc1 23805 as the "Second Fundamental Theorem of Calculus".) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Oct-2015.) (Revised by Steve Rodriguez, 31-Oct-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
lhe4.4ex1a

Proof of Theorem lhe4.4ex1a Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. . . 4
2		2re 11090	. . . . 5
3	2	a1i 11	. . . 4
4		1le2 11241	. . . . 5
5	4	a1i 11	. . . 4
6		reelprrecn 10028	. . . . . . 7
7	6	a1i 11	. . . . . 6
8		recn 10026	. . . . . . . . . 10
9		3nn0 11310	. . . . . . . . . . 11
10		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 $/\$
11	9, 10	mpan2 707	. . . . . . . . . 10
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . 9
13		3cn 11095	. . . . . . . . . 10
14		3ne0 11115	. . . . . . . . . 10
15		divcl 10691	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
16	13, 14, 15	mp3an23 1416	. . . . . . . . 9
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . 8
18		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 $/\$
19	13, 8, 18	sylancr 695	. . . . . . . 8
20	17, 19	subcld 10392	. . . . . . 7
21	20	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
22		ovexd 6680	. . . . . 6 $/\$
23	17	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
24		ovexd 6680	. . . . . . 7 $/\$
25		divrec2 10702	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
26	13, 14, 25	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . 12
27	12, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11
28	27	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . 10
29	28	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9
30	12	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
31		ovexd 6680	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32, 11	fmpti 6383	. . . . . . . . . . . . . 14
34		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14
35		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . 15
36		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38		dvexp 23716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40		3m1e2 11137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
41	40	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42	41	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43	42	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	39, 43	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	36, 44	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	35, 45	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . . . . 14
47		dvres3 23677	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
48	6, 33, 34, 46, 47	mp4an 709	. . . . . . . . . . . . 13
49		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	35, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
51	50	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
52	44	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . . . . 14
53		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	35, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
55	52, 54	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13
56	48, 51, 55	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . . 12
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
58		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13
59	58, 13, 14	divcli 10767	. . . . . . . . . . . 12
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
61	7, 30, 31, 57, 60	dvmptcmul 23727	. . . . . . . . . 10
62	61	trud 1493	. . . . . . . . 9
63		sqcl 12925	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	13, 63, 64	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12
66		divrec2 10702	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	13, 14, 66	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . 12
68	8, 65, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . 11
69		divcan3 10711	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70	13, 14, 69	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . 12
71	8, 63, 70	3syl 18	. . . . . . . . . . 11
72	68, 71	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10
73	72	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . 9
74	29, 62, 73	3eqtri 2648	. . . . . . . 8
75	74	a1i 11	. . . . . . 7
76	19	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
77		3ex 11096	. . . . . . . 8
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
79	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
80		1red 10055	. . . . . . . . 9 $/\$
81	7	dvmptid 23720	. . . . . . . . 9
82	13	a1i 11	. . . . . . . . 9
83	7, 79, 80, 81, 82	dvmptcmul 23727	. . . . . . . 8
84		3t1e3 11178	. . . . . . . . 9
85	84	mpteq2i 4741	. . . . . . . 8
86	83, 85	syl6eq 2672	. . . . . . 7
87	7, 23, 24, 75, 76, 78, 86	dvmptsub 23730	. . . . . 6
88		1re 10039	. . . . . . . 8
89		iccssre 12255	. . . . . . . 8 $/\$
90	88, 2, 89	mp2an 708	. . . . . . 7
91	90	a1i 11	. . . . . 6
92		eqid 2622	. . . . . . 7 ℂ_fld ℂ_fld
93	92	tgioo2 22606	. . . . . 6 ℂ_fld ↾_t
94		iccntr 22624	. . . . . . . 8 $/\$
95	88, 2, 94	mp2an 708	. . . . . . 7
96	95	a1i 11	. . . . . 6
97	7, 21, 22, 87, 91, 93, 92, 96	dvmptres2 23725	. . . . 5
98		ioossicc 12259	. . . . . . 7
99		resmpt 5449	. . . . . . 7
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . 6
101	90, 35	sstri 3612	. . . . . . . . 9
102		resmpt 5449	. . . . . . . . 9
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . . 8
104		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
105		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
106	13, 105	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . 13
107	63, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
108	104, 107	fmpti 6383	. . . . . . . . . . 11
109	34, 108, 34	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
110		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11
111		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . . . . . 14
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
113	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
114		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
115		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . 15
116		dvexp 23716	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
119	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . 14
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
122	112, 82	dvmptc 23721	. . . . . . . . . . . . 13
123	112, 113, 114, 118, 119, 121, 122	dvmptsub 23730	. . . . . . . . . . . 12
124	123	trud 1493	. . . . . . . . . . 11
125	110, 124	dmmpti 6023	. . . . . . . . . 10
126		dvcn 23684	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
127	109, 125, 126	mp2an 708	. . . . . . . . 9
128		rescncf 22700	. . . . . . . . 9
129	101, 127, 128	mp2 9	. . . . . . . 8
130	103, 129	eqeltrri 2698	. . . . . . 7
131		rescncf 22700	. . . . . . 7
132	98, 130, 131	mp2 9	. . . . . 6
133	100, 132	eqeltrri 2698	. . . . 5
134	97, 133	syl6eqel 2709	. . . 4
135	98	a1i 11	. . . . . 6
136		ioombl 23333	. . . . . . 7
137	136	a1i 11	. . . . . 6
138		ovexd 6680	. . . . . 6 $/\$
139		cniccibl 23607	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
140	88, 2, 130, 139	mp3an 1424	. . . . . . 7
141	140	a1i 11	. . . . . 6
142	135, 137, 138, 141	iblss 23571	. . . . 5
143	97, 142	eqeltrd 2701	. . . 4
144		resmpt 5449	. . . . . . 7
145	90, 144	ax-mp 5	. . . . . 6
146		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
147	146, 20	fmpti 6383	. . . . . . . . 9
148		ssid 3624	. . . . . . . . 9
149	35, 147, 148	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
150		ovex 6678	. . . . . . . . 9
151	87	trud 1493	. . . . . . . . 9
152	150, 151	dmmpti 6023	. . . . . . . 8
153		dvcn 23684	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
154	149, 152, 153	mp2an 708	. . . . . . 7
155		rescncf 22700	. . . . . . 7
156	90, 154, 155	mp2 9	. . . . . 6
157	145, 156	eqeltrri 2698	. . . . 5
158	157	a1i 11	. . . 4
159	1, 3, 5, 134, 143, 158	ftc2 23807	. . 3
160	159	trud 1493	. 2
161		itgeq2 23544	. . 3
162		oveq1 6657	. . . . 5
163	162	oveq1d 6665	. . . 4
164	97	trud 1493	. . . 4
165		ovex 6678	. . . 4
166	163, 164, 165	fvmpt 6282	. . 3
167	161, 166	mprg 2926	. 2
168	2	leidi 10562	. . . . . . . . 9
169	88, 2	elicc2i 12239	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
170	2, 4, 168, 169	mpbir3an 1244	. . . . . . . 8
171		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
172	171	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
173		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
174	172, 173	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
175		cu2 12963	. . . . . . . . . . . . 13
176	175	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
177		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . . 12
178	176, 177	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11
179		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . 15
180		6cn 11102	. . . . . . . . . . . . . . 15
181	179, 180, 13, 14	divdiri 10782	. . . . . . . . . . . . . 14
182		6p2e8 11169	. . . . . . . . . . . . . . . 16
183	180, 179, 182	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . 15
184	183	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
185	180, 13, 179, 14	divmuli 10779	. . . . . . . . . . . . . . . 16
186	177, 185	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . 15
187	186	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14
188	181, 184, 187	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . . . 13
189	188	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
190	179, 13, 14	divcli 10767	. . . . . . . . . . . . 13
191		subsub3 10313	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
192	190, 180, 179, 191	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12
193	189, 192	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . 11
194		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . 13
195		4p2e6 11162	. . . . . . . . . . . . . 14
196	194, 179, 195	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . 13
197	180, 179, 194, 196	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . . 12
198	197	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
199	178, 193, 198	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10
200	174, 199	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
201		eqid 2622	. . . . . . . . 9
202		ovex 6678	. . . . . . . . 9
203	200, 201, 202	fvmpt 6282	. . . . . . . 8
204	170, 203	ax-mp 5	. . . . . . 7
205	88	leidi 10562	. . . . . . . . 9
206	88, 2	elicc2i 12239	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
207	88, 205, 4, 206	mpbir3an 1244	. . . . . . . 8
208		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
209	208	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
210		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
211	209, 210	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
212		3z 11410	. . . . . . . . . . . . 13
213		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . 13
214	212, 213	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
215	214	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11
216	215, 84	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10
217	211, 216	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
218		ovex 6678	. . . . . . . . 9
219	217, 201, 218	fvmpt 6282	. . . . . . . 8
220	207, 219	ax-mp 5	. . . . . . 7
221	204, 220	oveq12i 6662	. . . . . 6
222		sub4 10326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
223	190, 194, 59, 13, 222	mp4an 709	. . . . . 6
224	13, 14	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 $/\$
225		divsubdir 10721	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
226	179, 58, 224, 225	mp3an 1424	. . . . . . . 8
227		2m1e1 11135	. . . . . . . . 9
228	227	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
229	226, 228	eqtr3i 2646	. . . . . . 7
230		3p1e4 11153	. . . . . . . 8
231	194, 13, 58, 230	subaddrii 10370	. . . . . . 7
232	229, 231	oveq12i 6662	. . . . . 6
233	221, 223, 232	3eqtri 2648	. . . . 5
234	13, 14	dividi 10758	. . . . . 6
235	234	oveq2i 6661	. . . . 5
236	233, 235	eqtr4i 2647	. . . 4
237		divsubdir 10721	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
238	58, 13, 224, 237	mp3an 1424	. . . 4
239	236, 238	eqtr4i 2647	. . 3
240		divneg 10719	. . . . 5 $/\$ $/\$
241	179, 13, 14, 240	mp3an 1424	. . . 4
242	13, 58	negsubdi2i 10367	. . . . . 6
243	40	negeqi 10274	. . . . . 6
244	242, 243	eqtr3i 2646	. . . . 5
245	244	oveq1i 6660	. . . 4
246	241, 245	eqtr4i 2647	. . 3
247	239, 246	eqtr4i 2647	. 2
248	160, 167, 247	3eqtr3i 2652	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

wne 2794

cvv 3200

wss 3574

cpr 4179 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c6 11074

c8 11076

cn0 11292

cz 11377

cioo 12175

cicc 12178

cexp 12860

ctopn 16082

ctg 16098 ℂ_fldccnfld 19746

cnt 20821

ccncf 22679

cvol 23232

cibl 23386

citg 23387

cdv 23627

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390 df-ibl 23391 df-itg 23392 df-0p 23437 df-limc 23630 df-dv 23631

This theorem is referenced by: (None)

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