Theorem hgt750leme 30736

Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750leme.o	|- O = { z e. ZZ | -. 2 || z }
hgt750leme.n	|- ( ph -> N e. NN )
hgt750leme.0	|- ( ph -> (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N )
hgt750leme.h	|- ( ph -> H : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
hgt750leme.k	|- ( ph -> K : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
hgt750leme.1	|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( K ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) )
hgt750leme.2	|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
hgt750leme	|- ( ph -> sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) <_ ( ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) x. ( N ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   z, O   m, H   m, K   m, N, n   m, O, n, z   ph, m, n

Allowed substitution hints:   ph( z)   H( z, n)   K( z, n)   N( z)

Proof of Theorem hgt750leme

Dummy variables a c d e i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt750leme.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnnn0d 11351	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		3nn0 11310	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 3 e. NN0 )
5		ssid 3624	. . . . . 6 |- NN C_ NN
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> NN C_ NN )
7	2, 4, 6	reprfi2 30701	. . . 4 |- ( ph -> ( NN (repr ` 3 ) N ) e. Fin )
8		diffi 8192	. . . 4 |- ( ( NN (repr ` 3 ) N ) e. Fin -> ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) e. Fin )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) e. Fin )
10		vmaf 24845	. . . . . . 7 |- Λ : NN --> RR
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> Λ : NN --> RR )
12	5	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> NN C_ NN )
13	1	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> N e. ZZ )
15	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> 3 e. NN0 )
16		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) )
17	16	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) )
18	12, 14, 15, 17	reprf 30690	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> n : ( 0..^ 3 ) --> NN )
19		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
20	19	tpid1 4303	. . . . . . . . 9 |- 0 e. { 0 , 1 , 2 }
21		fzo0to3tp 12554	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }
22	20, 21	eleqtrri 2700	. . . . . . . 8 |- 0 e. ( 0..^ 3 )
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ 3 ) )
24	18, 23	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( n ` 0 ) e. NN )
25	11, 24	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> (Λ ` ( n ` 0 ) ) e. RR )
26		rge0ssre 12280	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
27		hgt750leme.h	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> H : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
29	28, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( H ` ( n ` 0 ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
30	26, 29	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( H ` ( n ` 0 ) ) e. RR )
31	25, 30	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) e. RR )
32		1ex 10035	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
33	32	tpid2 4304	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. { 0 , 1 , 2 }
34	33, 21	eleqtrri 2700	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( 0..^ 3 )
35	34	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> 1 e. ( 0..^ 3 ) )
36	18, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( n ` 1 ) e. NN )
37	11, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> (Λ ` ( n ` 1 ) ) e. RR )
38		hgt750leme.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> K : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
40	39, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( K ` ( n ` 1 ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
41	26, 40	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( K ` ( n ` 1 ) ) e. RR )
42	37, 41	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) e. RR )
43		2ex 11092	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. _V
44	43	tpid3 4307	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. { 0 , 1 , 2 }
45	44, 21	eleqtrri 2700	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ( 0..^ 3 )
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> 2 e. ( 0..^ 3 ) )
47	18, 46	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( n ` 2 ) e. NN )
48	11, 47	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> (Λ ` ( n ` 2 ) ) e. RR )
49	39, 47	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( K ` ( n ` 2 ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
50	26, 49	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( K ` ( n ` 2 ) ) e. RR )
51	48, 50	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) e. RR )
52	42, 51	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) e. RR )
53	31, 52	remulcld 10070	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) e. RR )
54	9, 53	fsumrecl 14465	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) e. RR )
55		3re 11094	. . . 4 |- 3 e. RR
56	55	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 3 e. RR )
57		1nn0 11308	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
58		0nn0 11307	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
59		7nn0 11314	. . . . . . . . . . 11 |- 7 e. NN0
60		9nn0 11316	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 e. NN0
61		5nn0 11312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 5 e. NN0
62		5nn 11188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. NN
63		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 5 e. NN -> 5 e. RR+ )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 5 e. RR+
65	61, 64	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . . . . . 13 |- _ 5 5 e. RR+
66	60, 65	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . . . . 12 |- _ 9_ 5 5 e. RR+
67	60, 66	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . . . 11 |- _ 9_ 9_ 5 5 e. RR+
68	59, 67	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . . 10 |- _ 7_ 9_ 9_ 5 5 e. RR+
69	58, 68	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . 9 |- _ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 e. RR+
70	57, 69	rpdpcl 29611	. . . . . . . 8 |- ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) e. RR+
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) e. RR+ )
72	71	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) e. RR )
73	72	resqcld 13035	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) e. RR )
74		4nn0 11311	. . . . . . . . 9 |- 4 e. NN0
75		4nn 11187	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN
76		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR+
78	57, 77	rpdp2cl 29589	. . . . . . . . 9 |- _ 1 4 e. RR+
79	74, 78	rpdp2cl 29589	. . . . . . . 8 |- _ 4_ 1 4 e. RR+
80	57, 79	rpdpcl 29611	. . . . . . 7 |- ( 1 period_ 4_ 1 4 ) e. RR+
81	80	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 period_ 4_ 1 4 ) e. RR+ )
82	81	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 period_ 4_ 1 4 ) e. RR )
83	73, 82	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) e. RR )
84		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( d = c -> ( d ` 0 ) = ( c ` 0 ) )
85	84	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( d = c -> ( ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) <-> ( c ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) ) )
86	85	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( d = c -> ( -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) <-> -. ( c ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) ) )
87	86	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } = { c e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( c ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) }
88	87	ssrab3 3688	. . . . . 6 |- { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } C_ ( NN (repr ` 3 ) N )
89		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( ( NN (repr ` 3 ) N ) e. Fin /\ { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } C_ ( NN (repr ` 3 ) N ) ) -> { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } e. Fin )
90	7, 88, 89	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } e. Fin )
91	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> Λ : NN --> RR )
92	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> NN C_ NN )
93	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> N e. ZZ )
94	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> 3 e. NN0 )
95	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } C_ ( NN (repr ` 3 ) N ) )
96	95	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) )
97	92, 93, 94, 96	reprf 30690	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> n : ( 0..^ 3 ) --> NN )
98	22	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> 0 e. ( 0..^ 3 ) )
99	97, 98	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> ( n ` 0 ) e. NN )
100	91, 99	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> (Λ ` ( n ` 0 ) ) e. RR )
101	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> 1 e. ( 0..^ 3 ) )
102	97, 101	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> ( n ` 1 ) e. NN )
103	91, 102	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> (Λ ` ( n ` 1 ) ) e. RR )
104	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> 2 e. ( 0..^ 3 ) )
105	97, 104	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> ( n ` 2 ) e. NN )
106	91, 105	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> (Λ ` ( n ` 2 ) ) e. RR )
107	103, 106	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) e. RR )
108	100, 107	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ) -> ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) e. RR )
109	90, 108	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) e. RR )
110	83, 109	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) e. RR )
111	56, 110	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) ) e. RR )
112		4re 11097	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
113		8re 11105	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. RR
114	112, 113	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. RR /\ 8 e. RR )
115		dp2cl 29587	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. RR /\ 8 e. RR ) -> _ 4 8 e. RR )
116	114, 115	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- _ 4 8 e. RR
117	55, 116	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR /\ _ 4 8 e. RR )
118		dp2cl 29587	. . . . . . 7 |- ( ( 3 e. RR /\ _ 4 8 e. RR ) -> _ 3_ 4 8 e. RR )
119	117, 118	ax-mp 5	. . . . . 6 |- _ 3_ 4 8 e. RR
120		dpcl 29598	. . . . . 6 |- ( ( 7 e. NN0 /\ _ 3_ 4 8 e. RR ) -> ( 7 period_ 3_ 4 8 ) e. RR )
121	59, 119, 120	mp2an 708	. . . . 5 |- ( 7 period_ 3_ 4 8 ) e. RR
122	121	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 7 period_ 3_ 4 8 ) e. RR )
123	1	nnrpd 11870	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR+ )
124	123	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR )
125	1	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR )
126	123	rpge0d 11876	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ N )
127	125, 126	resqrtcld 14156	. . . . 5 |- ( ph -> ( sqr ` N ) e. RR )
128	123	rpsqrtcld 14150	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` N ) e. RR+ )
129	128	rpne0d 11877	. . . . 5 |- ( ph -> ( sqr ` N ) =/= 0 )
130	124, 127, 129	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) e. RR )
131	122, 130	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) e. RR )
132	125	resqcld 13035	. . 3 |- ( ph -> ( N ^ 2 ) e. RR )
133	131, 132	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) x. ( N ^ 2 ) ) e. RR )
134		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
135		7re 11103	. . . . . . . . . . . . 13 |- 7 e. RR
136		9re 11107	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 9 e. RR
137		5re 11099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 5 e. RR
138	137, 137	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 5 e. RR /\ 5 e. RR )
139		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 5 e. RR /\ 5 e. RR ) -> _ 5 5 e. RR )
140	138, 139	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _ 5 5 e. RR
141	136, 140	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 9 e. RR /\ _ 5 5 e. RR )
142		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 9 e. RR /\ _ 5 5 e. RR ) -> _ 9_ 5 5 e. RR )
143	141, 142	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _ 9_ 5 5 e. RR
144	136, 143	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 9 e. RR /\ _ 9_ 5 5 e. RR )
145		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 9 e. RR /\ _ 9_ 5 5 e. RR ) -> _ 9_ 9_ 5 5 e. RR )
146	144, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- _ 9_ 9_ 5 5 e. RR
147	135, 146	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 7 e. RR /\ _ 9_ 9_ 5 5 e. RR )
148		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 7 e. RR /\ _ 9_ 9_ 5 5 e. RR ) -> _ 7_ 9_ 9_ 5 5 e. RR )
149	147, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- _ 7_ 9_ 9_ 5 5 e. RR
150	134, 149	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. RR /\ _ 7_ 9_ 9_ 5 5 e. RR )
151		dp2cl 29587	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ _ 7_ 9_ 9_ 5 5 e. RR ) -> _ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 e. RR )
152	150, 151	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- _ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 e. RR
153		dpcl 29598	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN0 /\ _ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 e. RR ) -> ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) e. RR )
154	57, 152, 153	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) e. RR
155	154	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) e. RR )
156	155	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) e. RR )
157		1re 10039	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
158	157, 112	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. RR /\ 4 e. RR )
159		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ 4 e. RR ) -> _ 1 4 e. RR )
160	158, 159	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- _ 1 4 e. RR
161	112, 160	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. RR /\ _ 1 4 e. RR )
162		dp2cl 29587	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. RR /\ _ 1 4 e. RR ) -> _ 4_ 1 4 e. RR )
163	161, 162	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- _ 4_ 1 4 e. RR
164		dpcl 29598	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN0 /\ _ 4_ 1 4 e. RR ) -> ( 1 period_ 4_ 1 4 ) e. RR )
165	57, 163, 164	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( 1 period_ 4_ 1 4 ) e. RR
166	165	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 period_ 4_ 1 4 ) e. RR )
167	156, 166	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) e. RR )
168	37, 48	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) e. RR )
169	25, 168	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ) -> ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) e. RR )
170	9, 169	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) e. RR )
171	167, 170	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) e. RR )
172	56, 109	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( 3 x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) e. RR )
173	167, 172	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( 3 x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) ) e. RR )
174		hgt750leme.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( K ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) )
175		hgt750leme.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( H ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) )
176	9, 155, 166, 27, 38, 24, 36, 47, 174, 175	hgt750lemf 30731	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) )
177		hgt750leme.o	. . . . . 6 |- O = { z e. ZZ | -. 2 || z }
178		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
179	178	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. RR )
180		10nn0 11516	. . . . . . . . . 10 |- ; 1 0 e. NN0
181		2nn0 11309	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
182	181, 59	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 |- ; 2 7 e. NN0
183	180, 182	nn0expcli 12886	. . . . . . . . 9 |- (; 1 0 ^; 2 7 ) e. NN0
184	183	nn0rei 11303	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR
185	184	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR )
186	180	numexp1 15781	. . . . . . . . . 10 |- (; 1 0 ^ 1 ) = ; 1 0
187	180	nn0rei 11303	. . . . . . . . . 10 |- ; 1 0 e. RR
188	186, 187	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- (; 1 0 ^ 1 ) e. RR
189	188	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (; 1 0 ^ 1 ) e. RR )
190		1nn 11031	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
191		2lt9 11228	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 < 9
192	178, 136, 191	ltleii 10160	. . . . . . . . . . 11 |- 2 <_ 9
193	190, 58, 181, 192	declei 11542	. . . . . . . . . 10 |- 2 <_ ; 1 0
194	193, 186	breqtrri 4680	. . . . . . . . 9 |- 2 <_ (; 1 0 ^ 1 )
195	194	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 <_ (; 1 0 ^ 1 ) )
196		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
197	182	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 2 7 e. ZZ
198	187, 196, 197	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . 11 |- (; 1 0 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ; 2 7 e. ZZ )
199		1lt10 11681	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < ; 1 0
200	198, 199	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 |- ( (; 1 0 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ; 2 7 e. ZZ ) /\ 1 < ; 1 0 )
201		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
202		1lt9 11229	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 < 9
203	157, 136, 202	ltleii 10160	. . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 9
204	201, 59, 57, 203	declei 11542	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ ; 2 7
205		leexp2 12915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (; 1 0 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ; 2 7 e. ZZ ) /\ 1 < ; 1 0 ) -> ( 1 <_ ; 2 7 <-> (; 1 0 ^ 1 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) ) )
206	205	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (; 1 0 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ; 2 7 e. ZZ ) /\ 1 < ; 1 0 ) /\ 1 <_ ; 2 7 ) -> (; 1 0 ^ 1 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) )
207	200, 204, 206	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- (; 1 0 ^ 1 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 )
208	207	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (; 1 0 ^ 1 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) )
209	179, 189, 185, 195, 208	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) )
210		hgt750leme.0	. . . . . . 7 |- ( ph -> (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N )
211	179, 185, 125, 209, 210	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 <_ N )
212		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( e e. { c e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( c ` a ) e. ( O i^i Prime ) } |-> ( e o. if ( a = 0 , ( _I |` ( 0..^ 3 ) ) , ( (pmTrsp ` ( 0..^ 3 ) ) ` { a , 0 } ) ) ) ) = ( e e. { c e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( c ` a ) e. ( O i^i Prime ) } |-> ( e o. if ( a = 0 , ( _I |` ( 0..^ 3 ) ) , ( (pmTrsp ` ( 0..^ 3 ) ) ` { a , 0 } ) ) ) )
213	177, 1, 211, 87, 212	hgt750lema 30735	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) <_ ( 3 x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) )
214		2z 11409	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
215	214	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
216	71, 215	rpexpcld 13032	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) e. RR+ )
217	216, 81	rpmulcld 11888	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) e. RR+ )
218	170, 172, 217	lemul2d 11916	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) <_ ( 3 x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) <-> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( 3 x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) ) ) )
219	213, 218	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( 3 x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) ) )
220	54, 171, 173, 176, 219	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( 3 x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) ) )
221	155	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) e. CC )
222	221	sqcld 13006	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) e. CC )
223	166	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 period_ 4_ 1 4 ) e. CC )
224	222, 223	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) e. CC )
225		3cn 11095	. . . . 5 |- 3 e. CC
226	225	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 3 e. CC )
227	109	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) e. CC )
228	224, 226, 227	mul12d 10245	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( 3 x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) ) = ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) ) )
229	220, 228	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) <_ ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) ) )
230		fzfi 12771	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) e. Fin
231		diffi 8192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( ( 1 ... N ) \ Prime ) e. Fin )
232	230, 231	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... N ) \ Prime ) e. Fin
233		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 |- { 2 } e. Fin
234		unfi 8227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) e. Fin /\ { 2 } e. Fin ) -> ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) e. Fin )
235	232, 233, 234	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) e. Fin
236	235	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) e. Fin )
237	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) -> Λ : NN --> RR )
238		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) C_ NN
239	238	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... N ) C_ NN )
240	239	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) \ Prime ) C_ NN )
241	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. NN )
242	241	snssd 4340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { 2 } C_ NN )
243	240, 242	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) C_ NN )
244	243	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) -> i e. NN )
245	237, 244	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) -> (Λ ` i ) e. RR )
246	236, 245	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) e. RR )
247		chpvalz 30706	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> (ψ ` N ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) )
248	13, 247	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (ψ ` N ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) )
249		chpf 24849	. . . . . . . . . 10 |- ψ : RR --> RR
250	249	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ψ : RR --> RR )
251	250, 125	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (ψ ` N ) e. RR )
252	248, 251	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) e. RR )
253	246, 252	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) e. RR )
254	124, 253	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) e. RR )
255	83, 254	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) e. RR )
256	56, 255	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) ) e. RR )
257	177, 1, 211, 87	hgt750lemb 30734	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) <_ ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) )
258	109, 254, 217	lemul2d 11916	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) <_ ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) <-> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) ) )
259	257, 258	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) )
260		3rp 11838	. . . . . 6 |- 3 e. RR+
261	260	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 3 e. RR+ )
262	110, 255, 261	lemul2d 11916	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) <-> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) ) <_ ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) ) ) )
263	259, 262	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) ) <_ ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) ) )
264		6re 11101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 6 e. RR
265	264, 55	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 6 e. RR /\ 3 e. RR )
266		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 6 e. RR /\ 3 e. RR ) -> _ 6 3 e. RR )
267	265, 266	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _ 6 3 e. RR
268	178, 267	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. RR /\ _ 6 3 e. RR )
269		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ _ 6 3 e. RR ) -> _ 2_ 6 3 e. RR )
270	268, 269	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- _ 2_ 6 3 e. RR
271	112, 270	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 e. RR /\ _ 2_ 6 3 e. RR )
272		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 e. RR /\ _ 2_ 6 3 e. RR ) -> _ 4_ 2_ 6 3 e. RR )
273	271, 272	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- _ 4_ 2_ 6 3 e. RR
274		dpcl 29598	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN0 /\ _ 4_ 2_ 6 3 e. RR ) -> ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) e. RR )
275	57, 273, 274	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) e. RR
276	275	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) e. RR )
277	276, 127	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) e. RR )
278	113, 55	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 8 e. RR /\ 3 e. RR )
279		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 8 e. RR /\ 3 e. RR ) -> _ 8 3 e. RR )
280	278, 279	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _ 8 3 e. RR
281	113, 280	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 8 e. RR /\ _ 8 3 e. RR )
282		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 8 e. RR /\ _ 8 3 e. RR ) -> _ 8_ 8 3 e. RR )
283	281, 282	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _ 8_ 8 3 e. RR
284	55, 283	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. RR /\ _ 8_ 8 3 e. RR )
285		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 e. RR /\ _ 8_ 8 3 e. RR ) -> _ 3_ 8_ 8 3 e. RR )
286	284, 285	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- _ 3_ 8_ 8 3 e. RR
287	134, 286	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR /\ _ 3_ 8_ 8 3 e. RR )
288		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ _ 3_ 8_ 8 3 e. RR ) -> _ 0_ 3_ 8_ 8 3 e. RR )
289	287, 288	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- _ 0_ 3_ 8_ 8 3 e. RR
290		dpcl 29598	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN0 /\ _ 0_ 3_ 8_ 8 3 e. RR ) -> ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) e. RR )
291	57, 289, 290	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) e. RR
292	291	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) e. RR )
293	292, 125	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) e. RR )
294	277, 293	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) e. RR )
295	124, 294	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) e. RR )
296	83, 295	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) e. RR )
297	56, 296	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) ) e. RR )
298		vmage0 24847	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. NN -> 0 <_ (Λ ` i ) )
299	244, 298	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) -> 0 <_ (Λ ` i ) )
300	236, 245, 299	fsumge0 14527	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) )
301	1, 210	hgt750lemd 30726	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) < ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) )
302		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
303	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> Λ : NN --> RR )
304	239	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. NN )
305	303, 304	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> (Λ ` j ) e. RR )
306		vmage0 24847	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> 0 <_ (Λ ` j ) )
307	304, 306	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ (Λ ` j ) )
308	302, 305, 307	fsumge0 14527	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) )
309	1	hgt750lemc 30725	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) < ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) )
310	246, 277, 252, 293, 300, 301, 308, 309	ltmul12ad 10965	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) < ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) )
311	253, 294, 310	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) <_ ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) )
312	157	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
313		1lt2 11194	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 2
314	313	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < 2 )
315	312, 179, 125, 314, 211	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < N )
316	125, 315	rplogcld 24375	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR+ )
317	253, 294, 316	lemul2d 11916	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) <_ ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) <-> ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) <_ ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) )
318	311, 317	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) <_ ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) )
319	254, 295, 217	lemul2d 11916	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) <_ ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) <-> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) ) )
320	318, 319	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) )
321	255, 296, 261	lemul2d 11916	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) <-> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) ) <_ ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) ) ) )
322	320, 321	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) ) <_ ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) ) )
323	154	resqcli 12949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) e. RR
324	323, 165	remulcli 10054	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) e. RR
325	275, 291	remulcli 10054	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) e. RR
326	324, 325	remulcli 10054	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) e. RR
327	55, 326	remulcli 10054	. . . . . . 7 |- ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) e. RR
328		hgt750lem2 30730	. . . . . . 7 |- ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) < ( 7 period_ 3_ 4 8 )
329	327, 121, 328	ltleii 10160	. . . . . 6 |- ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) <_ ( 7 period_ 3_ 4 8 )
330	327	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) e. RR )
331	316, 128	rpdivcld 11889	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) e. RR+ )
332	123, 215	rpexpcld 13032	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N ^ 2 ) e. RR+ )
333	331, 332	rpmulcld 11888	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) x. ( N ^ 2 ) ) e. RR+ )
334	330, 122, 333	lemul1d 11915	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) <_ ( 7 period_ 3_ 4 8 ) <-> ( ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) x. ( ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) x. ( N ^ 2 ) ) ) <_ ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) x. ( N ^ 2 ) ) ) ) )
335	329, 334	mpbii 223	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) x. ( ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) x. ( N ^ 2 ) ) ) <_ ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) x. ( N ^ 2 ) ) ) )
336	276	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) e. CC )
337	127	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sqr ` N ) e. CC )
338	292	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) e. CC )
339	125	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. CC )
340	336, 337, 338, 339	mul4d 10248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) = ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) x. ( ( sqr ` N ) x. N ) ) )
341	340	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) = ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) x. ( ( sqr ` N ) x. N ) ) ) )
342	124	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( log ` N ) e. CC )
343	336, 338	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) e. CC )
344	337, 339	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( sqr ` N ) x. N ) e. CC )
345	343, 344	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) x. ( ( sqr ` N ) x. N ) ) e. CC )
346	342, 345	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) x. ( ( sqr ` N ) x. N ) ) ) = ( ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) x. ( ( sqr ` N ) x. N ) ) x. ( log ` N ) ) )
347	341, 346	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) = ( ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) x. ( ( sqr ` N ) x. N ) ) x. ( log ` N ) ) )
348	343, 344, 342	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) x. ( ( sqr ` N ) x. N ) ) x. ( log ` N ) ) = ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) x. ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) ) )
349	347, 348	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) = ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) x. ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) ) )
350	349	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) = ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) x. ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) ) ) )
351	83	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) e. CC )
352	344, 342	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) e. CC )
353	351, 343, 352	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) x. ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) ) = ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) x. ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) ) ) )
354	350, 353	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) x. ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) ) )
355	354	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) ) = ( 3 x. ( ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) x. ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) ) ) )
356	56	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 3 e. CC )
357	351, 343	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) e. CC )
358	356, 357, 352	mulassd 10063	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) x. ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) ) = ( 3 x. ( ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) x. ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) ) ) )
359	355, 358	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) x. ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) ) )
360	132	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ^ 2 ) e. CC )
361	342, 337, 360, 129	div32d 10824	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) x. ( N ^ 2 ) ) = ( ( log ` N ) x. ( ( N ^ 2 ) / ( sqr ` N ) ) ) )
362	360, 337, 129	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N ^ 2 ) / ( sqr ` N ) ) e. CC )
363	342, 362	mulcomd 10061	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( ( N ^ 2 ) / ( sqr ` N ) ) ) = ( ( ( N ^ 2 ) / ( sqr ` N ) ) x. ( log ` N ) ) )
364	339	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
365	364	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N ^ 2 ) / ( sqr ` N ) ) = ( ( N x. N ) / ( sqr ` N ) ) )
366	339, 339, 337, 129	divassd 10836	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N x. N ) / ( sqr ` N ) ) = ( N x. ( N / ( sqr ` N ) ) ) )
367		divsqrtid 30672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR+ -> ( N / ( sqr ` N ) ) = ( sqr ` N ) )
368	123, 367	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N / ( sqr ` N ) ) = ( sqr ` N ) )
369	368	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N x. ( N / ( sqr ` N ) ) ) = ( N x. ( sqr ` N ) ) )
370	365, 366, 369	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N ^ 2 ) / ( sqr ` N ) ) = ( N x. ( sqr ` N ) ) )
371	339, 337	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N x. ( sqr ` N ) ) = ( ( sqr ` N ) x. N ) )
372	370, 371	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N ^ 2 ) / ( sqr ` N ) ) = ( ( sqr ` N ) x. N ) )
373	372	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( N ^ 2 ) / ( sqr ` N ) ) x. ( log ` N ) ) = ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) )
374	361, 363, 373	3eqtrrd 2661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) = ( ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) x. ( N ^ 2 ) ) )
375	374	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) x. ( ( ( sqr ` N ) x. N ) x. ( log ` N ) ) ) = ( ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) x. ( ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) x. ( N ^ 2 ) ) ) )
376	359, 375	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) ) ) ) x. ( ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) x. ( N ^ 2 ) ) ) )
377	122	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 7 period_ 3_ 4 8 ) e. CC )
378	130	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) e. CC )
379	377, 378, 360	mulassd 10063	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) x. ( N ^ 2 ) ) = ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) x. ( N ^ 2 ) ) ) )
380	335, 376, 379	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( ( ( 1 period_ 4_ 2_ 6 3 ) x. ( sqr ` N ) ) x. ( ( 1 period_ 0_ 3_ 8_ 8 3 ) x. N ) ) ) ) ) <_ ( ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) x. ( N ^ 2 ) ) )
381	256, 297, 133, 322, 380	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) ) ) <_ ( ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) x. ( N ^ 2 ) ) )
382	111, 256, 133, 263, 381	letrd 10194	. 2 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( ( ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) ^ 2 ) x. ( 1 period_ 4_ 1 4 ) ) x. sum_ n e. { d e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( d ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) } ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) ) <_ ( ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) x. ( N ^ 2 ) ) )
383	54, 111, 133, 229, 382	letrd 10194	1 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( NN (repr ` 3 ) N ) \ ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) N ) ) ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( H ` ( n ` 0 ) ) ) x. ( ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( K ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 2 ) ) x. ( K ` ( n ` 2 ) ) ) ) ) <_ ( ( ( 7 period_ 3_ 4 8 ) x. ( ( log ` N ) / ( sqr ` N ) ) ) x. ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   8c8 11076   9c9 11077   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Primecprime 15385  pmTrspcpmtr 17861   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819  _cdp2 29577   periodcdp 29595  reprcrepr 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-ros335 30723  ax-ros336 30724

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-pmtr 17862  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-atan 24594  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-dp2 29578  df-dp 29596  df-repr 30687

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  30738